PIRÁMIDES DE EGIPTO CONSIDERADA COMO LA PRIMERA MARAVILLA DEL MUNDO Las pirámides de Egipto construidas hace más de 4000 años, son la maravilla más antigua y la única que se conserva. Sirvieron como tumba a los faraones egipcios, cuyos cuerpos momificados se rodeaban de tesoros y objetos personales. Erguidas sobre la arena del desierto, las pirámides de Egipto, esbeltas majestuosas, son algo más que un templo y una tumba. Ante ellas, y especialmente a la Gran Pirámide, se tiene la impresión de hallarse en presencia de un monumento que guarda en sus entrañas secretos trascendentales muy estrechamente relacionados con su estructura.  Como en Babilonia y en América, en Egipto las pirámides eran templos erigidos a la gloria de un dios, templos para complejos rituales de muerte y de nacimiento, y al tiempo monumentos al conocimiento de un pueblo mucho menos ignorantes de lo que los historiadores creían. Hasta los arqueólogos más irracionalmente racionalistas se han rendido a la evidencia: en sus medidas esta reflejado el conocimiento matemático y astronómico de una ciencia incomprensible hace seis o siete mil años atrás. Estamos, pues, frente a algo más que una tumba. En esa montaña formada por dos millones seiscientos mil bloques de piedra, acarreados y ensamblados quien sabe como, con un volumen total de más de dos millones y medio de metros cúbicos y un peso superior a los siete millones de toneladas, la Gran Pirámide es un templo religioso y científico y tal vez, sea también una tumba.

CATALOGADAS COMO TUMBAS , EDIFICIOS O PLATAFORMAS Pirámides, edificios sólidos de base poligonal y lados convergentes en un vértice construidos por algunas civilizaciones antiguas, especialmente en el antiguo Egipto y en la América precolombina. La figura de las egipcias era exactamente una pirámide recta de base cuadrada, mientras que las americanas presentan un perfil troncopiramidal compuesto por pisos o gradas que conducen a una coronación plana. Las cámaras sepulcrales de las pirámides egipcias albergaban el sarcófago del faraón y los bienes materiales que debían acompañarle en su viaje al más allá. Estas cámaras estaban situadas al final de largos pasajes que podían estar sellados o construidos de forma que confundieran a los posibles ladrones de tumbas. Esta sección transversal de la pirámide de Keops muestra la disposición interna del conjunto de pasajes y cámaras sepulcrales. En Egipto se emplearon como tumbas de los faraones, mientras que en América servían como plataformas para templos, aunque en ocasiones también incorporaron enterramientos. El conjunto de pirámides de Gizeh es una de las obras arquitectónicas más conocidas. La pirámide de Kefrén alcanza una altura de 136 m y se construyó como tumba para el faraón Kefrén hacia el año 2530 a.C. En la parte superior del edificio se puede observar la piedra que recubría sus cuatro caras. El mayor grupo de pirámides egipcias es el que se encuentra en Gizeh, cerca de l Cairo. La mayor de ellas es la del faraón Keops, que está considerada una de las siete maravillas del mundo antiguo. Este edificio mide 160 m de altura sobre una base cuadrada de 250 m de lado. Todavía se conservan restos de unas 70 pirámides diseminadas por el territorio de Egipto y Sudán. El antecedente de estas pirámides perfectas fueron las pirámides escalonadas, llamadas así porque sus sucesivas capas o pisos de piedra o ladrillo parecen enormes peldaños. El ejemplo mejor conservado de este tipo de enterramientos es el de Saqqara, cerca de El Cairo, construido hacia el año 2600 a.C

¿POR QUÉ UNA PIRÁMIDE? ¿POR QUÉ NO UN PALACIO, O UNA FIGURA HUMANA, O UNA TORRE? Para comprender el simbolismo de las pirámides hay que referirse a la concepción que del mundo tenían los egipcios, para quienes el universo se creó desde la llamada colina primigenia, donde el dios creador, diferente según cada cosmogonía, estableció el orden del mundo egipcio. La razón de esta idea es que cuando las aguas del Nilo empiezan a retirarse de los campos inundados, lo primero que comienza a observarse son las lomas de la tierra que ha sido fecundada y que posibilitarán el bienestar económico. Las pirámides son, por tanto, una estilización de dicha colina primogenia, símbolo de la vida eterna y de la regeneración continua, siendo las tumbas desde el período neolítico identificadas por un montículo exterior, desde donde se irá generando la forma piramidal. Igualmente, en jeroglífico, el término para referirse a las pirámides En Forma de escalera, posiblemente haciendo referencia al deseo de que sirviera de acceso al cielo. De ahí su uso funerario. Una momia de 3.000 anos es la nueva estrella del Museo Británico. La momia de Nesperennub fue tratada con la más moderna tecnología informática y médica. La película tridimensional del sarcófago se realizó en cooperación con una empresa de informática que lo llevó a un hospital, donde le realizaron una tomografía computada. Los datos fueron incorporados después a una computadora así se elaboró posteriormente el filme. Por primera vez en la historia, se logró indagar la vida de una momia sin abrir su sarcófago.

EXCAVACIONES "Una de las mejores tumbas que descubrí al oeste de la gran pirámide pertenece al sacerdote Kai, que data del reino de Keops -continúa-. Es una tumba bellamente pintada, con un estilo artístico único. Uno de sus bajorrelieves muestra a la hija de Kai abrazando afectuosamente a su padre. Los jeroglíficos pintados sobre los muros dicen que fue hecha por constructores de tumbas y artesanos."  Estas inscripciones no son las únicas descifradas por Zahi Hawass. "En el interior de las tumbas de los trabajadores pudimos ver cuáles eran los títulos que utilizaban. Por ejemplo, supervisor del lado Este de la pirámide, supervisor de rodillos, maestre del puerto, etcétera -cuenta este egiptólogo de 55 años-. Dicen mucho sobre cómo organizaban esa increíble plantilla de personal."  Un sarcófago y un palacio escondido Las excavaciones ofrecen más sorpresas De todos los hallazgos efectuados en el cementerio de los trabajadores no cabe ninguna duda de que la tumba que brinda su morada definitiva en el mundo de los muertos a Ny Swt Wrst es la más fascinante de todas. Según los jeroglíficos que adornan el dintel de su entrada, quien yace allí sería el supervisor del distrito administrativo de la ciudad de los trabajadores, a la fecha el individuo de más alto rango hallado en Giza. Se entiende entonces que el enterratorio sea el más elaborado del cementerio.  En el interior de esta tumba excavada en la roca Hawass halló el sarcófago intacto más antiguo. "Está hecho de piedra caliza y la argamasa está intacta, lo que indica que aún está sellado -dice-. Adentro espero encontrar una momia, porque el dueño de esa tumba no hubiera hecho hacer un enorme sarcófago como ése a menos que pensara colocar allí su cuerpo momificado." Finalmente, el misterio se resolverá el 16 de septiembre próximo, cuando el sarcófago sea abierto y el acontecimiento sea transmitido en vivo por el National Geographic Channel.  Otro gran misterio que aún persiste en torno de la ciudad y del cementerio de los trabajadores es la posibilidad de que allí, bajo la arena, se encuentren las ruinas intactas de un palacio real. "Mucha de la evidencia arqueológica sugiere que el complejo (ciudad y cementerio) pertenecía a los reyes -explica Lehner-, de modo que el próximo paso es determinar si poseían un palacio, donde residía el faraón. Quizá se encuentre cerca del edificio administrativo, donde se almacenaban granos."

HISTORIA DE LA MOMIA OCULTA Adentrarse en el sarcófago y descorrer las vendas de una momia de 3.000 años desde hoy la nueva atracción del Museo Británico de Londres, que, mediante una innovadora experiencia virtual, revelará desde hoy los secretos del antiguo Egipto. Por primera vez en la historia, los expertos han logrado indagar la vida de una momia sin abrir su sarcófago, gracias a la más avanzada tecnología y escáneres. El protagonista indiscutible de "La momia: La historia oculta", es Nesperennub, un religioso del complejo de Karnak (Luxor) que vivió alrededor del año 800 antes de Cristo y cuyo ataúd es uno de los mejor conservados del museo londinense. La colaboración de los visitantes será un ingrediente fundamental para el éxito del innovador descubrimiento que, tras cuatro años de arduo trabajo, ha contado con la Colaboración gratuita de varios hospitales londinenses. Ataviados con unos anteojos para proyecciones en tres dimensiones -diseñadas, por supuesto, al estilo egipcio- los curiosos alzarán seguramente sus dedos para tratar de tocar las vendas de Nesperennub, su piel, sus huesos e incluso los amuletos que llevó en su paso al más allá. A poco más de un metro de los ojos de los espectadores, una proyección en tres dimensiones muestra todos los detalles de la hasta ahora misteriosa momia. Desde el ataúd hasta el cráneo de Nesperennub, pasando por las inscripciones y sus dientes, cada centímetro del antiguo, pero bien conservado cuerpo, explica un poco más de la vida que este religioso llevaba a orillas del Nilo y su devoción a Ra, dios del Sol. Más de 1.500 fotografias en tres dimensiones y avanzados programas informáticos, que han dado volumen a las radiografías de la momia, lograron perfilar una imagen relativamente cercana de cómo fue Nesperennub, su estilo de vida y las causasde su muerte. Fallecido cuando tenía unos cuarenta años, llevó una vida sana y equilibrada, que se refleja en el buen estado de sus dientes, a pesar de una infección de una muela que debió causarle más de un dolor de cabeza y mal humor.Nesperennub era además de importante sacerdote, un hombre con influencia política, y su muerte pudo deberse tanto a un derrame cerebral como a un asesinato, ya que los expertos hallaron una curiosa perforación en el lado izquierdo de su cráneo. "Escogimos este sarcófago porque es muy representativo. En esa época, el arte de la momificación alcanzó su punto culminante", comentó John Taylor, de] departamento del Antiguo Egipto y Sudán del Museo Británico "Cada vez aprendernos un poco más de la civilización egipcia, sin dudas una de las más fascinantes de la antigüedad, y por ello, la técnica del escáner y la computadora abre un importante camino para futuras investigaciones", indicó Taylor.

LAS PIRÁMIDES ESTRUCTURAS GIGANTESCA Los turistas contienen la respiración cuando se encuentran ante la pirámide de Cheops, que se levanta en la altiplanicie de Gizeh, 8 km al sudoeste de la actual El Cairo. Una estructura gigantesca, tan alta como un edificio de 40 pisos, se eleva ante sus ojos sobre la amarillenta arena del desierto.  Su punta parece chocar en línea recta con el cielo. Se dice que esta impresión fue proyectada a propósito. Las pirámides no solamente debían servir para proteger las momias de los reyes, sino también para mostrar la cara norte. El techo de la cámara mortuoria estaba formado por los bloques mayores y más pasados, de toda la estructura. A la forma de las pirámides se llegó como una evolución lógica de la pirámide escalonada de Saqqara, la más antigua de todas. Ésta fue construida por Imhotep para el faraón Dyeser como superposición de mastabas. Las mejores y más perfectas sin duda son las construidas durante la IV dinastía por faraones Jufu (Queope o Keops), Jafra (Quefrén) y Menkaura (Micerinos) en Guiza. Si tenemos en cuenta las dimensiones de la pirámide de Keops, la más perfecta de todas las construidas (146.6 metros de altura y 230.35 de lado) y que cualquier desviación inicial en el ángulo de inclinación impediría las proporciones geométricas de que goza actualmente haciéndola mas baja o excesivamente alta para esa base, es necesario reconocer que representa el afianzamiento de una arquitectura basada en el pleno conocimiento del plano y la geometría.  Durante el Reino Nuevo se continuaron construyendo pirámides pero con materiales perecederos por lo que su estado actual es o ruinoso o han desaparecido al perder la cubierta que las protegía. Durante las dinastías etíopes, en 400 años se construyeron en Nubia más de 180 pirámides.

TIPOS DE PIRÁMIDES LA PIRÁMIDE ESCALONADA La pirámide escalonada de Netjerykhet Djosser fue construida algún tiempo después del año 2630 a. C. Fue la primera pirámide de la historia de Egipto y la estructura en piedra más antigua del mundo en sus dimensiones.  Con sus seis plantas de casi 58’70 metros, (originalmente 60 metros) una longitud de 123 metros de este-oeste y 107 metros de norte-sur, simboliza una gigantesca escalera que facilita la ascensión al cielo del alma del faraón. La pirámide tiene una base rectangular de 140 x 118 metros y una altura de unos 58 metros que originariamente debían ser 60.  Esta es la primera piramide cuyas camaras y galerias subterraneas fueron redecoradas o cubiertas con inscripciones.  Asi, las paredes, muestran columnas de jeroglificos, grabados y pintados de azul, constituyendo la version mas antigua del conjunto de textos de las piramides.  La primera tumba de piedra jamás construida se atribuye a Imhotep, el arquitecto de Zóser. El nombre de este arquitecto se encontró al pie de una estatua del faraón, cerca de la tumba. Los logros de Imhotep eran legendarios ya en la antigüedad.  No se construyó aisladamente, sino formando parte de un conjunto de edificios y patios de piedra relacionados con diversas ceremonias funerarias dedicadas al faraón. El núcleo del monumento consiste en una estructura sólida a modo de caja alargada cuyo interior está formado por bloques de piedra traída de las proximidades y el exterior de caliza fina procedente de las canteras de Tura, más lejanas.  En la parte norte se había empezado a construir un templo funerario, pero antes de que se concluyera se decidió extender la pirámide por sus fachadas norte y oeste. Finalmente una última ampliación de la pirámide afectó a sus cuatro lados. Se completaron los seis peldaños y el conjunto se revistió con piedra caliza de Tura. La parte subterránea de este conjunto consistía en un pozo profundo que daba acceso a un complicado laberinto de corredores y cámaras de diversos tamaños.  Son las más antiguas y están formadas por la superposición de varios escalones decrecientes. La primera pirámide escalonada fue la de Dyeser realizada como un proyecto del arquitecto Imhotep (quien sería posteriormente divinizado), como una superposición de antiguas mastabas. PERFECTA Se comenzó a construir a principios de la IV dinastía y representa la evolución arquitectónica de la pirámide escalonada. El recinto lo forma, además dela pirámide, el templo mortuorio, y un muro. En ocasiones el recinto cuenta con otra pirámide subsidiaria. El eje mayor del recinto se orientaba al este. La primera pirámide verdadera corresponde al faraón Snofru de la IV dinastía que además construyó la única romboidal conocida y terminó la de su padre Huni. ROMBOIDAL  Se trata de una pirámide parecida a la verdadera, pero con un cambio de inclinación a media altura, de la que la única conocida es una de las del faraón Snofru de la IV dinastía. Este faraón fue el primero en construir una pirámide perfecta.

LAS PIRÁMIDES CLÁSICAS. Está claro que la pirámide tal como hoy la entendemos, monumento de base cuadrada y lados en rampa hacia la cumbre, deriva de la pirámide escalonada. Afortunadamente se puede conocer esa transición gracias al estudio de los restos de una pirámide parcialmente destruida en Meidum.  Esta pirámide estaba formada por un núcleo compuesto de varias capas de mampostería que disminuían en altura desde el centro hacia los lados y se apoyaban sobre un cuerpo central formando un ángulo de 75 grados. Parece ser que este mismo método fue empleado por los constructores de las pirámides de la V dinastía. No es absolutamente seguro, sin embargo, que las tres pirámides de Gizeh se construyeran siguiendo este sistema. Como norma general, la tumba real debía estar situada al oeste del Nilo, lugar de la puesta del sol, y por encima del nivel del río, para evitar que las inundaciones periódicas afectaran al monumento.  Las mejores y más perfectas sin duda son las construidas durante la IV dinastía por faraones Jufu (Queope o Keops), Jafra (Quefrén) y Menkaura (Micerinos) en Guiza. Si tenemos en cuenta las dimensiones de la pirámide de Keops, la más perfecta de todas las construidas (146.6 metros de altura y 230.35 de lado) y que cualquier desviación inicial en el ángulo de inclinación impediría las proporciones geométricas de que goza actualmente haciéndola mas baja o excesivamente alta para esa base, es necesario reconocer que representa el afianzamiento de una arquitectura basada en el pleno conocimiento del plano y la geometría. Por otra parte no podía construirse muy lejos del río, ya que las piedras se transportaban desde las canteras por vía fluvial. Lo ideal era que además no se encontrara demasiado retirada de algún núcleo urbano. Una vez elegido el lugar, había que preparar el terreno limpiándolo de toda la arena superficial hasta dar con la roca viva, donde debían afirmarse los cimientos. Esta roca se nivelaba por medio de un complejo procedimiento. A veces, sin embargo, se dejaba una prominencia en el centro y se aprovechaba en la construcción de la futura pirámide. Por último se aseguraban de que los cuatro lados del monumento estuviesen orientados hacia las cuatro puntos cardinales. La orientación de la pirámide debió hacerse con ayuda de varios cuerpos celestes, puesto que los egipcios desconocían la brújula. El faraón marcaba la línea de los cuatro lados una vez observada la posición de las estrellas. En esta observación le ayudaba un sacerdote en representación del dios Thoth.

CONSTRUCCIÓN DE PIRÁMIDES En el año 2500 a.c en el que aproximadamente se construyó la Gran Pirámide de Gizeh no existía la esclavitud en Egipto. Herodoto hablaba de 3.000 trabajadores (o 100.000, no podemos saber la traducción correcta) que durante 20 años estuvieron trabajando para la construcción de la pirámide de Jufu (Keops) en períodos de 3 meses. Egipto era un país agrícola que vivía de la crecida del Nilo, que se producía cada año durante los meses de Junio a Octubre. Durante este período de tiempo los agricultores egipcios no tenían trabajo, por lo que se ha supuesto que eran empleados en trabajos para el estado, y uno de ellos debió ser la construcción de pirámides, por el que recibían un salario en especias.  Pero sin duda debió existir un cuerpo de trabajadores especializado fijo durante todo el año. Además hay que tener en cuenta que para el antiguo egipcio el faraón era la reencarnación de sus dioses, y el encargado de proporcionar al pueblo el bienestar que exigían, por lo que no sería de extrañar que aunque el trabajo fuese duro, muchos contribuyesen pensando en la grandeza del monumento y en la inmortalidad de su rey-dios. La piedra para el revestimiento exterior de la pirámide se obtiene de las canteras de Tura en la orilla este del Nilo, cerca de las colinas de Mugattan. Las herramientas usadas para este trabajo consistían en excelentes útiles de cobre, entre ellos sierras capaces de cortar cualquier tipo de piedra caliza. Más problemático es pensar como podrían extraer piedras duras como el granito.  Algunos opinan que la utilización de granitos fue tardía y que, al principio, los egipcios se contentaron con aprovechar los bloques sueltos de superficie. El número de trabajadores necesarios para construir una pirámide debió ser necesariamente enorme. Herodoto afirma que en la pirámide de Keops trabajaron sin descanso cien mil hombres en turnos de tres meses durante veinte años.  Cuando los bloques salían de la cantera había que transportarlos al lugar de la construcción. A pesar de que algunos alcanzaban las doscientas toneladas, el transporte fluvial no presentaría demasiados problemas. Aprovecharían la época de las inundaciones para, en pesadas balsas, arrastrar estos materiales hasta la orilla más próxima al monumento en construcción.  Después se transportarían por tierra a base de trineos sobre los que el bloque se afirmaría con ayuda de cuerdas. Los trineos se deslizarían sobre pistas preparadas al efecto en las que iban colocándose rodillos. La construcción del exterior de la pirámide es algo que aún pertenece al dominio de lo especulativo. Una explicación plausible sería la de la construcción de sólo una rampa de abastecimiento que cubriría un lado de la pirámide. Los otros tres estarían tapados por terraplenes de pendiente más pronunciada. A medida que la pirámide ganaba altura, la rampa crecía igualmente y se alargaba para corresponder al estrechamiento de la pirámide de modo que se evitase todo riesgo de desmoronamiento. Los tres lados de la pirámide que no tenían rampa estaban provistos de terraplenes con la anchura suficiente en la cumbre como para permitir el paso de hombres y materiales. Pero como estos terraplenes no se usaban para elevar piedras, que era la función de la rampa, su gradiente en la superficie externa tendría la máxima inclinación compatible con la firmeza. Vigas de madera, algunas de las cuales han sido encontradas por los arqueólogos, se colocaban sobre la superficie de la rampa y de los terraplenes para ofrecer una base firme a los trineos de transporte. La pirámide iría creciendo laboriosamente y estrechándose progresivamente hasta que ya sólo hiciese falta un único bloque, con forma precisamente de pirámide para completarla en su cúspide, esta última piedra se tallaba en granito.

MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN Las pirámides, monumento de la fuerza y la inteligencia humana, han motivado en todo tiempo la admiración y curiosidad de los hombres. Erigida en la meseta de Gizeh, durante el antiguo imperio egipcio, la pirámide del faraón Keops o Gran Pirámide como se la denomina representa la obra maestra de los constructores.  Es sumamente vasta la problemática que comprende los métodos constructivos utilizados para la realización de esta obra, y la explicación de los motivos que determinan su distribución interior, a continuación se resalta opiniones propuestos por los siguientes arqueólogos: Finalidad de la Gran Galería Flinders Petrie, fue el primer arqueólogo en emitir la opinión de que la Gran Galería estaba destinada a almacenar los tres bloques de granito, que en una longitud de 4,5 metros, obstruye el corredor luego del funeral del faraón. Bourchardt comparte esta idea, sin embargo, remarca que ella no permite explicar las ranuras talladas en la parte inferior de la tercera hilada de piedras de las paredes laterales de la galería, y los bloques engastados existentes en estas paredes sobre cada uno de los veintiocho agujeros excavados en las banquetas a intervalos regulares.  Considera además, que los bloques colocados en el piso de la galería, habrían obstaculizado el cortejo fúnebre en su pasaje hacia la cámara funeraria, y sugiere que esos bloques fueron depositados sobre una plataforma de madera instaladas en las ranuras existentes en las paredes laterales, la cual era soportada por maderos encastrados en los agujeros existentes en las banquetas. Complementa su propuesta con la teoría de los estados sucesivos de la edificación, que consiste en suponer que existieron tres cambios de planes durante la construcción, lo cual explicaría la existencia de tres cámaras en el edificio. Según Lauer, durante el segundo plan, la cámara intermedia era la destinada a cumplir la función de cámara funeraria y la galería estaba construida como un corredor sin salida, en el cual se almacenaban los bloques de granito que obstruían todo el corredor ascendente. Finalmente los constructores habrían desechado esta idea, construyendo la cámara superior y la antecámara con su sistema de bloqueado. Este sistema de bloqueado, le ofrecía suficiente seguridad a la cámara superior como para que los constructores entendieran innecesario el bloqueado de todo el corredor ascendente, reduciéndolo a tres bloques. El resto de los bloques de granito fueron utilizados en la construcción de la cámara superior, y para trasladarlos de la galería a esta cámara, construyeron un andamiaje semejante al formulado por Bourchardt, que permite explicar los distintos detalles existentes en la galería.

TECNICAS DE ELEVACION DE BLOQUES Los bloques que componen la pirámide del faraón Keops, tienen un peso promedio de 2500 kg. a excepción de las enormes losas que conforman el techo de la cámara de granito y sus cámaras de descarga, las cuales están ubicadas próximas al centro del edificio hasta una altitud estimada en 68 metros. Solo un medio estaba al alcance de los antiguos egipcios para elevar estas grandes losas, la rampa construida en ladrillo y tierra. Vestigios de rampas encontradas en exploraciones arqueológicas, hacen que la teoría de las rampas rectas formulada por Bourchardt y perfeccionada por Lauer fueran aceptadas unánimemente en su momento. Sin embargo la utilización de rampas rectas, se torna sumamente trabajosa, cuando se consideran alturas como las alcanzadas en esta pirámide, al ser necesario acumular un volumen de material en la rampa, que solo puede ser comparado con el de la propia pirámide.  La rampa en forma de espiral, permite subsanar esta deficiencia y ha tenido buena aceptación en los medios científicos, si bien no se han encontrado evidencias arqueológicas que confirmen su utilización. Uno de los arqueólogos que más aportes ha realizado al esclarecimiento de este tema, J. F. Lauer, sugirió una variante a su modelo de rampa recta. El considera la superposición de rampas con pendientes progresivamente más acentuadas, que tienen en cuenta la disminución de altura media de las hiladas de piedra a medida que nos acercamos a la cúspide y el hecho de que las enormes losas no se encuentran más en ésta pirámide por encima de los 68 metros de altitud, esas superposiciones de rampas permiten, además, limitar su longitud desde el pie e la pirámide a 300 metros. Este sistema ofrece la enorme ventaja de presentar un gran ancho de vía de la rampa en los niveles inferiores de la pirámide que ofrecen muy vastas superficies para construir.

METODO PROPUESTO Uno de los objetivos claramente perseguidos por los constructores de pirámides, es la búsqueda de mayor altitud en sus edificaciones. En la pirámide de Keops, se alcanzó la altura máxima lograda de aproximadamente 147 metros, superando ampliamente a las pirámides del Grupo Dahchurt que las precedieron (Pirámide del Sur y del Norte, con 103 y 92 metros de altura). Para obtener este importante incremento de la altura, los constructores debieron resolver deficiencias estructurales, evidenciadas en Meidun y la Pirámide del Sur y dificultades crecientes para elevar los bloques a alturas significativamente mayores. Probablemente la evolución constructiva experimentada, fuera acompañada por modificaciones en las técnicas utilizadas para elevar los bloques, superando así las dificultades que los métodos empleados en las construcciones anteriores les presentaban. Coincidiendo con ese incremento de la altitud obtenida, la pirámide de Keops, presenta en su distribución interior, una construcción que no tiene precedentes, "la Gran Galería". Consideremos que ambos fenómenos estén relacionados, es decir, el incremento sensible de la altitud se obtiene a partir de la aplicación de un método para elevar los bloques, que requiere la existencia de una rampa interior con las características de la Gran Galería.

UTILIZACION DE RAMPAS Y PALANCAS Para instrumentar prácticamente esta idea, adoptaremos como hipótesis que la galería fue utilizada como rampa interior sobre la cual se deslizará un contrapeso.  Con el objeto de ilustrar la aplicación práctica del método que se propone, imaginemos que el edificio ha sido construido hasta una altura de 100 metros, la superficie superior del mismo es una plataforma cuadrada pronta a recibir la hilada siguiente de bloques.  En el interior del edificio, la galería oficiando como rampa se encuentra dividida por una plataforma construida en madera y montada en las ranuras existentes a la altura de la tercera disminución de los muros laterales, debajo de la cual un contrapeso cargado con pequeñas piedras se desliza sobre guías de madera fijas a las banquetas. Los agujeros existentes a intervalos regulares permiten la fijación de las guías a las banquetas, mediante tarugos de madera, y los bloques engastados en las paredes, actuando como topes, cumplen la función de detener el contrapeso en posiciones intermedias. Un conducto vertical, conecta la pared sur de la galería con la superficie superior del edificio, a través del cual es trasmitido mediante cuerdas y apoyos fijos lubricados, el esfuerzo generado durante el deslizamiento del contrapeso, el cual será utilizado para elevar los bloques en el exterior. Elevado el bloque, el contrapeso se encuentra en el final de su recorrido donde es descargado. Un equipo de hombres, desde la plataforma construida en la galería, realiza por medio de cuerdas el esfuerzo de subir el contrapeso descargado, a su posición inicial, en la parte alta de la galería. Una vez cargado nuevamente el contrapeso, se está en condiciones de elevar un nuevo bloque. Como puede apreciarse, los distintos detalles y características que presenta la galería, de dificultosa interpretación , aparecen explicados con la función que le hemos adjudicado.  Esta nueva forma de visualizar la problemática, tiene como principal virtud, su demostración. En efecto, en la descripción del método propuesto para elevar los bloques, asumí la existencia de un conducto vertical que conectando la pared sur de la galería con la plataforma en construcción, permitía trasmitir al exterior el esfuerzo generado durante el deslizamiento del contrapeso.  Imaginemos ahora que la construcción del edificio ha sido finalizada incluida la colocación del revestimiento, se presenta entonces la tarea de obstruir el conducto vertical. Si adoptamos como hipótesis que dicho conducto existió y fue obstruido con pequeños bloques, necesariamente deben existir evidencias de la obstrucción en la traba superior del edificio. Puede observarse la presencia de tres bloques pequeños y alineados a la cara este del edificio, ubicados próximos al centro de la plataforma (ver flecha). Dos aspectos merecen ser resaltados, que hacen factible la existencia de la obstrucción a la que hicimos referencia anteriormente, la diferencia de tamaño de éstos bloques respectos al resto que componen la plataforma, y el hecho de que los bloques que aun subsisten de la hilada anterior se encuentran en el borde de esos pequeños bloques y no formando la traba como correspondería. Este detalle a ser investigado, permite que las variantes que hemos formulado en la problemática tratada, sea demostrado en uno u otro sentido. Herodoto, que representa la tradición corriente de Egipto en su época, declara en lo referente a la construcción del monumento de Keops: "Esta pirámide fue construida de la siguiente manera: se colocaron al principio una serie de gradas que algunos llaman crossai y otros bomides. Después de haberle dado para empezar, esta primer forma, se procedió a subir las piedras restantes, por medio de máquinas construidas de trozos cortos de madera; desde el suelo las subían a la primera plataforma; cuando la piedra había llegado allí, era colocada en otra máquina instalada sobre esta primera plataforma; y pasaba a otra grúa , pues había tantas máquinas como plataformas. O quizás solo había una máquina, fácil de transportar, que trasladaban de un piso a otro, después de haber retirado la piedra, indicamos los dos procedimientos, según las dos versiones que hemos oído.  Lo primero que hicieron fue llegar al vértice de la pirámide, después pasaron a las partes que quedaban inmediatamente debajo, y por fin, dieron el último toque a los pisos próximos al suelo y al pie mismo del edificio." Hasta el presente no se han aportado pruebas en apoyo a las declaraciones de Herodoto en su conjunto. La pirámide de Kefren es posterior a la pirámide de Keops y presenta una altura ligeramente inferior, resulta lógico pensar que fue construida en forma análoga, de lo cual se deduce que dicha pirámide debería presentar una distribución similar a la estudiada, como ha sido sugerido por distintos arqueólogos

EL PODER MÁGICO DE LAS PIRÁMIDES Las pirámides de Egipto, esbeltas majestuosas, son algo más que un templo y una tumba. Ante ellas, y especialmente a la Gran Pirámide, se tiene la impresión de hallarse en presencia de un monumento que guarda en sus entrañas secretos trascendentales muy estrechamente relacionados con su estructura. Esas figuras geométricas perfectas poseen un poder que podemos definir como mágico, pero que en realidad debe ser tan natural como las fuerzas cósmicas que intervinieren en sus efectos. Los constructores de las pirámides lo sabían, y nosotros debemos intentar saberlo también. Lo malo de la erosión y los saqueos sufridos a lo largo de los milenios por la Gran Pirámide hacen imposible determinar las medidas exactas, y ni con el más exquisito de los cuidados puede garantizarse un error mínimo de diez centímetros, sobre todo en lo que se refiere a la longitud de los lados de la base y a la altura del monumento, medidas éstas en las que están descansando casi la totalidad de los cálculos piramidológicos.

LOS MEJORES CHISTES DE MATEMÁTICAS

¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas? -No hijo, no estaría bien. -Bueno, inténtalo de todas formas.

– Me di cuenta de que iba a suspender las matemáticas cuando un día el profesor dijo en clase "Sea un épsilon menor que 37", y de repente todo el mundo se echó a reír.

En mitad de una conferencia de matemáticas, un participante levanta la mano y dice:       - ¡Tengo un contraejemplo para ese teorema!          A lo que el conferenciante responde:        - No importa, yo tengo dos pruebas.

Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax2 + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos.  A lo que Jesús respondió:  ¡Una parábola !

Definición matemática de mujer:                "Conjunto de curvas peligrosas que ponen recta una parábola"

¿Cuántos lados tiene un círculo? Dos, el de dentro y el de fuera.

¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario.

¿Por qué se suicidó el libro de matemática?  Porque tenía demasiados problemas.

Dos rectas paralelas se intersectan siempre y cuando el punto de intersección sea lo suficientemente gordo

- Tú que eres matemático: ¿crees en Dios? - Si, salvo isomorfismos.

EXPERIMENTOS DE MATEMÁTICAS

                  MEDIDOR DE DISTANCIAS CON LÁSER

INTRODUCCION:
El láser es una herramienta con muchos usos. Uno de los usos es para que nos sirva como medidor de distancia. Con ayuda de un puntero láser, algunos otros materiales y algo de  trigonometría, se puede medir una determinada distancia con la luz.
 
ATENCION: Aunque se pueden adquirir libremente, los punteros láser no son juguetes. Los punteros láser tienen poca potencia, pero es un rayo de luz de mucha intensidad y puede causar daño extensivo y permanente en los ojos. Nunca se debe apuntar el láser a nuestros ojos o los de otra persona. Manejar el láser con cuidado al hacer los experimentos.
MATERIALES:
 Puntero Láser 
 ⁵⁰/₅₀ Divisor de Haz (beam splitter)
Espejo de primera superficie *
Transportador
Tabla para montar el laser y la parte optica
Dispositivos para montar todo (el diseño lo dejamos en tus manos)



*Cuando se trabaja con luz se necesita este tipo de espejos, que no tienen recubrimiento de pintura en la parte plateada, de manera que se usa esta parte plateada para que el espesor de del vidrio no distorsione el haz de luz. 
PROCEDIMIENTO:
Coloca y sujeta el puntero láser en el extremo de un tablero de madera o de aglomerado. Si el puntero no tiene un interruptor permanente que mantiene el láser encendido, tendrás que cambiar el interruptor.
El divisor de haz o beam splitter tiene que ser montado de manera tal que el haz del láser se divida en un ángulo de 90 grados. 
El espejo giratorio se coloca a 1 metro de distancia del centro del divisor de haz. Debe estar sobre un soporte que puede ser de madera u otro material. El transportador se fija de forma permanente debajo del espejo giratorio, de manera que muestre una lectura de 0 cuando el haz del láser es dirigido de vuelta al lugar en donde se encuentra el divisor de haz. También se puede hacer que ambos haces se proyecten en una pared a 1 metro de distancia entre si. De esta manera el aparato esta listo para ser usado.
 
Abajo se puede ver un dibujo de como se colocan todos los accesorios.
 


 
PROCEDIMIENTO
Coloca el medidor de distancia sobre una mesa a cierta distancia de lla pared o de algún objeto, de manera que el haz que indica la distancia desconocida X se pueda ver claramente. La distancia máxima la determinará la potencia del láser. Recuerda: ël beam splitter divide el haz de láser original en dos haces, de manera que ambos haces tienen la mitad del brillo del haz original. El tablero de montaje debe estar paralelo a la pared.
 
Ahora se ajusta el espejo giratorio de manera que ambos haces se superponen en el objeto o pared cuaya distabncia deseamos calcular. Luego se lee el desplazamiento del espejo giratorio en el transportador para obtener el ángulo del rayo reflejado. 
CALCULOS:
 
Ahora tenemos un triángulo rectángulo y conocemos uno de los ángulos y su lado adyacente. Todo lo que tenemos que hacer es aplicar la fórmula de la tangente para calcular la distancia X.


tangente  del ángulo =

lado opuesto lado adyacente
Entonces:


tangente  del ángulo =

____X____ 1 metro
Para resolver  X:
X = (tangente  del ángulo)(1 metro)


Se pueden encontrar otros usos para el medidor de distancias, uno de estos puede ser medidor de ángulos.
 




                 LAS TORRES DE HANOI


Se trata de colocar la disposición inicial de los discos en otro poste con la condición de no situar un disco sobre otro más pequeño.



Las Torres de Hanoi es un juego matemático que consiste en tres varillas verticales y un número indeterminado de discos que determinarán la complejidad de la solución. No hay dos discos iguales, están colocados de mayor a menor en una varilla ascendentemente, y no se puede colocar ningún disco mayor sobre uno menor a él en ningún momento. El juego consiste en pasar todos los discos a otra varilla colocados de mayor a menor ascendentemente.
 
Leyenda: Dios al crear el mundo, colocó tres varillas de diamante con 64 discos en la primera. También creó un monasterio con monjes, los cuales tienen la tarea de resolver esta Torre de Hanoi divina. El día que estos monjes consigan terminar el juego, el mundo acabará. El mínimo número de movimientos que se necesita para resolver este problema es de 264-1. Si los monjes hicieran un movimiento por segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en poco menos de 585 mil millones de años. Como comparación para ver la magnitud de esta cifra, la Tierra tiene como 5 mil millones de años, y el Universo entre 15 y 20 mil millones de años de antigüedad, sólo una pequeña fracción de esa cifra.
Resolución: el problema de las Torres de Hanoi es curioso porque su solución  se puede calcular en forma rápida, pero el número de pasos para resolverlo crece exponencialmente conforme aumenta el número de discos. Para obtener la solución más corta, es necesario mover el disco más pequeño en todos los pasos impares, mientras que en los pasos pares sólo existe un movimiento posible que no lo incluye. El problema se reduce a decidir en cada paso impar a cuál de las dos pilas posibles se desplazará el disco pequeño:
El algoritmo en cuestión depende del número de discos del problema.
• Si inicialmente se tiene un número impar de discos, el primer movimiento debe ser colocar el disco más pequeño en la pila destino, y en cada paso impar se le mueve a la siguiente pila a su izquierda (o a la pila destino, si está en la pila origen).
La secuencia será DESTINO, AUXILIAR, ORIGEN, DESTINO, AUXILIAR, ORIGEN, etc.
• Si se tiene inicialmente un número par de discos, el primer movimiento debe ser colocar el disco más pequeño en la pila auxiliar, y en cada paso impar se le mueve a la siguiente pila a su derecha (o a la pila origen, si está en la pila destino).
La secuencia será AUXILIAR, DESTINO, ORIGEN, AUXILIAR, DESTINO, ORIGEN, etc.

La matemática y la realidad

Empezaré este post con una anécdota personal que me ha pasado más de una vez cuando me han preguntado qué carrera estudiaba.

-¿qué estudias?

-Matemáticas

-¿Matemáticas? ¿eso sirve para algo más que dar clases?

En otros casos, cambiaríamos la última frase por: “¿Matemáticas? Eso no sirve pa “na”.

La verdad, es que el ser humano en general, ignora muchas cosas, y algunas de ellas debería conocer, como por ejemplo, que el mundo es matemático, que la realidad se rige por leyes matemáticas. Hay matemáticas por todos lados, matemáticas donde menos se lo espera uno.

Quizás alguien no entrado en materia piense que las matemáticas son, únicamente saber ir a la compra y hacer bien las cuentas. Pues me alegro de que no. Vivimos en un mundo lleno de tecnología: ordenadores, coches, microondas,… por supuesto, ahí las matemáticas tiene un papel principal que desempeñar, pero eso la gente no lo ve.

No solo tecnología, lo más maravilloso son las leyes matemáticas que rigen nuestro mundo en acuerdo con la propia naturaleza. Gracias a ella podemos averiguar la temperatura de un café recién hecho que se deja en reposo en cada instante de tiempo hasta que se ponga a temperatura ambiente, podemos hallar con trigonometría, la altura de un árbol con su sombra, podemos determinar las mejores formas geométricas que aguanten un peso dado, podemos estimar los resultados de un sorteo… Quizás así, dado estos ejemplos no muy vistosos, parezcan aplicaciones de las que podamos prescindir, pero tengamos en cuenta que esto solo son ejemplos, y si cambiamos los nombres de estos por otros tenemos otras aplicaciones que al lector pueden parecerle más interesantes, como en química, a veces es fundamental conocer el tiempo que tardará en enfriarse o calentarse un objeto, en criminología, el cuerpo humano está a 37 grados centígrados, podremos determinar la hora de la muerte con saber la temperatura en un instante en concreto. La trigonometría, ni que decir que se utiliza en el arte simplemente para dar belleza a las cosas, pero tiene muchas, muchísimas más aplicaciones, como por ejemplo en barcos, para determinar su posición, hallar la distancia o posición de las estrellas (Gauss saltó a la fama porque predijo con total exactitud en qué posición y tiempo aparecería el asteroide Ceres). La latitud, no es más que un ángulo, es el formado entre el ecuador y un sitio del planeta y la longitud es el ángulo que se forma con la perpendicular del ecuador que pasa por Greenwich. Por ejemplo, la latitud y longitud de Málaga (España), es Latitud: 37º 12′. Longitud: -4º 39′. (Los grados negativos en la latitud indican el hemisferio sur, y los de la longitud indican hacia el Este respecto a Greenwich).

Hallar la mejor forma para que soporte un determinado peso es clave para las infraestructuras de los edificios, no me gustaría nada a mi que llegase un arquitecto y me hiciese los pilares que soportan la infraestructura con base triangular (los que resisten más el peso son los circulares, pero se hacen con base cuadrada porque la diferencia no es demasiada y es más fácil y cómodo construirlos). Las abejas construyen sus celdas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdas, consiguen una mayor superficie para guardar la miel. Y por supuesto, si tenemos conocimientos matemáticos no nos engañaran/timaran tan fácilmente, si yo les invitase a jugar a un juego de azar, o aparentemente de azar, quizás acepten porque crean que pueden ganarme, pero es que a lo mejor sus posibilidades de ganar son bastantes inferiores a las mías. Si encima les digo que si me ganan su premio será 3 veces mayor que el que yo obtendría… quizás no se lo pensarían dos veces.

Hay matemáticas en muchos sitios, hay que saber verlas. Estos son algunas de las casi infinitas (aunque no es muy matemático decir “casi infinito”) aplicaciones que tienen. Física, astronomía, biología, química, arquitectura, cualquier ingeniería, informática y un largo etcétera que no sé si llenaría el límite de letras del post.

Quiero hacer notar, que a mi parecer (y de mucha gente), las matemáticas no están solo para resolver nuestros problemas, mejorar nuestra vida y buscar todas las aplicaciones que se puedan. Se hacen matemáticas que aparentemente “no sirven”, pero a la larga, a los años, se descubren impresionantes aplicaciones. Y no solo por encontrar aplicaciones, en mi caso por satisfacción personal y simplemente por curiosidad propia, el querer saber lo que no se conoce, es por ello por lo que las estudio.

Estoy de acuerdo con lo que dijo una vez Max Tegmark (astrofísico) : “Nuestro universo no sólo se describe mediante la matemática, sino que es matemática.”

 Eulrianos 

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Método para salir de un laberinto (Muy Bueno!)

Si tienes que entrar dentro de un laberinto... 
 
hay un método topológico/matemático y laborioso para salir de él y consiste en... 
...moverte SIEMPRE con la mano pegada a la pared que tienes a la derecha(*). Si lo haces bien, este método (**) te sacará del laberinto. 

(*) Tambien valdría utilizando SIEMPRE la pared izquierda. 

(**) En otro momento estudiaremos este método... 

Ahora sin embargo vamos a hacerlo de otro modo utilizando cualquier editor de imagenes (ej. mspaint.exe de Windows): 
Vamos a pensar que tenemos un laberinto como el de la siguiente figura, 
 
y que tiene solución, es decir, la entrada y la salida están unidas por al menos un trazo (que lo pintamos de rojo). Esto entonces delimita 2 regiones en el laberinto, la región A y la B. 
 
Luego la región A del laberinto sería por ejemplo: 
 
Y la región B 
 
Juntándolo todo, nos queda: 


Muy bien. Y ahora como hacemos para encontrar esas dos regiones? 

Muy sencillo!! Es suficiente abrir el archivo (JPG,GIF,BMP,...) que contiene el laberinto desde Paint de Microsoft y tocar una de las paredes con la herramienta de relleno: 
 
Te quedará algo así: 
 
No se ocurra ahora utilizar la herramienta de relleno en cualquier otro punto ya que todas las partes del laberinto están conectadas, te saldrá esto 
 
Para encontrar el camino hacia la salida sólo tienes que moverte por el laberinto por los sitios donde tengas una pared de un color (azul) a un lado y del otro color (negro) al otro lado. 
 
Ya que estamos utilizando un editor de imagenes, podemos ir cerrando (amarillo) aquellos tramos por los que no debemos pasar, es decir, aquellos que tiene tienen las paredes del lado derecho e izquierdo del mismo color. 
 
Una vez que hayamos hecho eso, si podemos utilizar de nuevo la herramienta de relleno. 
 
Si quieres hacerlo, pon el cursor en la imagen anterior, pulsa el botón derecho del ratón y elige la opción Copiar, abre ahora el Paint de Windows (mspaint.exe) y desde el menu Edición elige la opción Pegar. Ahora haz click sobre el botón de relleno y haz ahora click en el punto de Salida. Veras como por arte de magia se dibuja el camino con la solución...