UNDÉCIMO GRADO

Función Compuesta

Siempre que se tienen dos funciones g y f se puede definir una nueva función de manera que la variable dependiente de g sea a su vez la variable independiente de f. Observa la siguiente ilustración entre los conjuntos.

 

 

Ejemplo 1

Si f(x) = 2x²+1   y   g(x) = x -1 entonces

( f o g )(1) = f ( g (1) )

 

f ( g ( 1 ) ) =  f ( 0 )

        

f ( 0 ) = 2 ( 0 )² + 1 = 1

Finalmente ( f o g )(1) = 1.

Ejemplo 2

Si f(x) = 2x²+1   y   g(x) = x -1 entonces

( f o g )(x) = f ( g (x) )

 

f ( g ( x ) ) =  f ( x-1 )

        

f ( x-1 ) = 2 ( x-1 )² + 1

             = 2 ( x² – 2x + 1) +1

             = 2x² – 4x + 2 + 1

             = 2x² – 4x + 2

 Finalmente (f o g)(x) = 2x² – 4x + 2.

Trabaja problema seleccionado 3 de la página 169.

PRACTICA

Usa las funciones f y g del ejemplo anterior y halla:

  ( f o g )(-1)

  ( f o g )(2)

  ( g o f )(-2)

  ( g o f )(a)

RESPUESTAS

Un ejercicio interesante es cuando conoces la regla definida en la composición y deseas saber cuáles funciones la producen, esto se llama descomposición.

Ejemplo:

Halla f y g  si  (f o g)(x) = ( 2x+3 )²

 

  Observa que la regla definida es multiplicar por 2, sumar 3 y cuadrar

  En la composición ( f o g )(x),  la primera función que actúa es g

  En la regla ( 2x+3 )², la primera operación que se realiza al seguir el orden de las operaciones, es aquella del paréntesis, ( 2x + 3 )

  asigna esa regla a la función g, esto es, define g (x) = 2x + 3

  la otra regla, cuadrar, se la asignas a la función f, esto es, f (x) = x²

Verifica, si f (x) = x²   y  g (x) = 2x + 3 , entonces:

( f o g ) (x) = f ( g (x) ) = f ( 2x + 3 ) = ( 2x+3 )²; lo que se quería.