DÉCIMO

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función Seno

Análisis del Grafico

Es creciente en los intervalos y .

Es decreciente en el intervalo .

Dominio: {R}

Recorrido:

Intersección con el eje X en el origen, en y en 2.

Intersección con el eje Y en el origen.

Amplitud: 1.

Periodo: .

Fase: 0.

Función Coseno

Análisis del Grafico

Es creciente en el intervalo. 

Es decreciente en el intervalo. 

Dominio: {R}.

Recorrido: .

Intersección con el eje X en el punto y en el punto

Intersección con en el eje Y en el punto

Amplitud: 1.

Período: .

Fase: .

Función Tangente

Análisis del Grafico

Es creciente en todos los intervalos.

Dominio: . Recorrido: {R}.

Intersección con el eje X en el origen, en y en .

Intersección con el eje Y en el origen.

Amplitud: No se ve una amplitud clara.

Período:

Fase: Indefinido.

GRADO NOVENO

ESTUDIA PARA EL EXAMEN FINAL

Ejemplo para discusión:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

1)  (-3,4) y (6, -2)

2)  (-3, -4) y (3, 2)

3)  (-4, 2) y ( 3, 2)

4)  (2, 4) y (2, -3)

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

Ejercicio:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

1)  (-3 , -3) y (2, -3)

2)  (0, 4) y (2, -4)

3)  (-2, -1) y (1, 2)

4)  (-3, 2) y (-3, -1)

15 Consejos para conseguir el éxito en tus estudios

1.-Necesitas cinco minutos cada día para planificarte. Cuanto más atareado estés, más necesitas organizarte. No te dejes atropellar por la improvisación de hacer lo más inmediato. Date la satisfacción de saber por dónde vas y de cumplir lo que habías previsto para cada día. 2.- No empieces nunca por lo fácil con la excusa de ir entrando en materia poco apoco. Valdría si hubiera mucho tiempo por delante, pero generalmente no lo hay. Comienza por lo más importante; si no lo haces así, te perturbará la ansiedad de saber que aún tienes pendiente aquella tarea y el nerviosismo te hará aumentar la sensación de impotencia.  3.- Lleva siempre encima una agenda en la que puedas anotar una idea antes de que se te olviden datos que sea necesario recordar.  4.- Conserva pocos papeles. Tira todos los que hayas usado y no sean imprescindibles. Archiva con un método claro todo lo que decidas conservar. Hay quienes pierden más de la mitad del tiempo de estudio en buscar informaciones entre fotocopias y cuadernos.  5.- No comiences nunca a hacer una cosa si no confías seriamente en que puedes realizarla. Cuando se produce un fracaso y no se completa una tarea, se produce una insatisfacción y uno sentimiento de culpabilidad que lleva a perder cantidad de tiempo. Es mejor pedir ayuda cuando sientes que lo necesitas. 6.- Antes de ponerte a estudiar prepara todas las cosas que preveas necesarias. Es conveniente cortar a tiempo las posibilidades de fuga. Quien mucho se levanta, poco interés tiene. 7.- Aprovecha en lo posible tus mejores momentos. ¿Eres de los madrugadores? ¿O prefieres las tardes? Estudia en tus momentos altos de energía. El descanso y la diversión exigen menos concentración.

8.- Busca sitios adecuados donde poder estudiar sin que haya demasiado ruido. Si es necesario, recurre a otras posibilidades fuera de casa: bibliotecas públicas, etc. La concentración es imprescindible. 9.- Con el estómago lleno es difícil de conseguir esta concentración: busca tiempos más oportunos. 10.- Procura trabajar en una mesa en la que sólo tengas las cosas que necesites para el estudio; evita en lo posible el riesgo de distraerte. 11.- Empieza a estudiar con un vistazo general de los temas. Esto ayuda a concentrar la atención y a despertar el subconsciente. Tener un marco de referencia general te ayudará a comprender mejor los pasos de un proceso. 12.- Reserva algún tiempo del día para resolver las cosas triviales, pero necesarias. Evita la sensación de estar pendiente de terminar algo que se ha quedado a medias. Esta sensación es frustrante y quita concentración.  13.- Cuando lo necesites, descansa, relájate, oye música. No esperes a que el cansancio se convierta en agotamiento, pero tampoco diversifiques los objetivos de tu atención haciendo varias cosas a la vez, como estudiar y oír música; las dos cosas a la vez no suelen funcionar bien. 14.- Ponte cómodo para estudiar, postura relajada, ropa floja y cómoda, buena luz.  15.- Pide ayuda cuando la necesites porque no consigues resolver una cuestión. Remite tus dudas al profesor, en clase, pero no dejes pasar un tiempo excesivo para aclararlas. Muchas veces basta con una consulta a tu compañero, pero cuando haga falta hay que recurrir al profesor, con quien siempre hay que mantener una relación personal que facilite estas consultas.

ADIVINA LA EDAD

 

Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el número del mes de nacimiento (enero=1, febrero=2, ...) y después le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstale 250. El número obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así?.

Solución

Llamemos A al número del mes de nacimiento y B a la edad. Seguimos las siguientes operaciones:

2A --> 2A+5 --> (2A+5).50 --> (2A+5).50+B --> (2A+5).50+B-250

Operando queda: 100A+250+B-250=100A+B

Así, siempre tendremos B en las unidades y decenas, y A en centenas y unidades de millar (si es el caso).

Los cuadrados mágicos 

Los cuadrados mágicos están formados por números colocados de tal forma que las sumas de estos números en filas, columnas y diagonales son iguales, esta suma común se llama número mágico.

El cuadrado mágico representado por Alberto Durero en su célebre grabado "Melancolía" fue descubierto en las ruinas de la ciudad de Khajuraho (siglos X y XI), en la India.

Tal vez Durero eligió este cuadrado porque los dos números centrales de la última fila coinciden con la fecha de ejecución del grabado: 1514.

¿Sabrías encontrar más cuadrados mágicos similares a este? 

UNDÉCIMO

FUNCIÓN CUADRÁTICA

       Graficar:

1y = -x² + 4x - 3

2y = x² + 2x + 1

3y = x² +x + 1

Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:

1. y = x² + 2

2. y = x² - 2

3. y = (x + 2)²

DECÁLOGO DEL MAESTRO

Gabriela Mistral

1. AMA. Si no puedes amar mucho, no enseñes a niños.
2. SIMPLIFICA. Saber es simplificar sin quitar esencia.
3. INSISTE. Repite como la naturaleza repite las especies hasta alcanzar la perfección.
4. ENSEÑA con intención de hermosura, porque la hermosura es madre.
5. MAESTRO, se fervoroso. Para encender lámparas basta llevar fuego en el corazón.
6. VIVIFICA tu clase. Cada lección ha de ser viva como un ser.
7. ACUERDATE de que tu oficio no es mercancía sino oficio divino.
8. ACUERDATE. Para dar hay que tener mucho.
9. ANTES de dictar tu lección cotidiana mira a tu corazón y ve si está puro.
10. PIENSA en que Dios se ha puesto a crear el mundo de mañana.

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LA DIFÍCIL DECISIÓN DE SER MAESTRO

Platicaba un día un padre con su hijo y decíale éste emocionado:

- Padre, llegado ha el momento de decidir qué quiero ser en la vida; mucho he pensado al respecto, pero es tanto el saber humano que mi decisión difícil se ha vuelto.

El padre al fin, sabio por experiencia, cuestionó entonces a su vástago de la siguiente manera:

- ¿Qué tanto has pensado que te hace dudar?

- Mira padre -respondió el hijo-, médico he pensado ser, para curar cuerpos o mentes y cuando al fin he aceptado, cuenta me doy que mucha falta hace quien ayude a impartir justicia al débil y desprotegido, entonces prefiero ser abogado. Luego, siento la necesidad de aprender el secreto del arte de la construcción; de sacar de la piedra bruta un hogar confortable para mis semejantes, es cuando decido ser arquitecto o ingeniero; más es tanto el desarrollo científico que prefiero ser investigador o químico o matemático, o me decido por la contaduría o administración, por la física, por el campo, por los animales, por el espacio exterior...

El padre atento, esbozó una sonrisa y dijo con ese tono que tienen los padres cuando amorosamente pueden aconsejar a sus hijos con la sapiencia que dan los años vividos:

- Hijo: doctor, abogado, arquitecto, ingeniero, contador, astrofísico... todo ello puedes ser; y lo lograrás en la profesión que tú no has mencionado. Para alcanzarlo deberás conocer y saber mucho; tu mente deberá convertirse en un transporte de la cultura universal; aún así, deberás poner todo tu empeño en el trabajo a realizar en tu campo de acción.

Serás un moldeador de mentes; tú forjarás al médico, al astronauta, al campesino, al constructor, al comerciante, al abogado, al músico; podrás con esta profesión incubar en los corazones de los individuos los sentimientos de amor, bondad, ilusión, tolerancia, libertad, igualdad y fraternidad. Pero mucho cuidado hijo mío, en ésta no puedes cometer errores ya que podrías crear deformidades que se volvieran en contra de sus propios hermanos, por la generación de una ambición desmedida, tan sólo satisfecha por la material sensación del poder. Tendrás por seguidores a los llamados discípulos, ante ellos te presentarás como figura fiel y como imagen del ejemplo mismo. Te volverás todas y cada una de las profesiones existentes. 

Con el tiempo verás tu reflejo en cada una de las figuras que tú formaste; entonces hijo, con toda tu entrega a esta fascinante y noble profesión, podrás con la mente en alto, otear el horizonte en donde mirarás tus obras, sintiendo en ese instante que has cumplido con los pensamientos que hoy enredan tus ideas y te darás cuenta que con tus palabras y actos has fertilizado las semillas que sembraste en tierra fértil y que se han convertido, o lo harán después, en grandes, fuertes y frondosos árboles que acudirán a darte sombra protectora cuando estés a punto de cumplir con el mandato de la Madre Tierra que exige a su descendencia regresar a ella.

Sentirás que tu paso por esta vida no ha sido en vano.

Escucha bien hijo mío, si aceptas esta responsabilidad tan grande sobre tus hombros, decídete por la profesión que llevo con orgullo y que en estas palabras venero tanto. Conviértete en Maestro, hijo mío, y sabrás entonces cuánto has ganado.

El hijo comprendió cuál camino debía seguir; y con el corazón latiendo fuertemente y embargado de gran emoción, se acercó a su padre, Maestro de muchas generaciones y secó las lágrimas de honor que de sus ojos habían brotado. Le besó en la frente y decidió al fin en lo que se convertiría: un Maestro que con su trabajo, rinda reconocimiento a la labor de los grandes Maestros que hubiera tenido. Maestros que a él, lo hubieron forjado.

Prof. Martín A. Alcocer González Mérida, Yuc., Méx. 

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LAS MATEMÁTICAS EN EGIPTO

 
 El Antiguo Egipto es la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el triunfo de la eficiencia y la inteligencia. Se pasa del neolítico a la historia en 2.500 años de acelerados avances técnicos. Los conocimientos científicos de los egipcios, su medicina, sus construcciones, su refinamiento siguen sorprendiendo y atrayendo.
        Aquí nos vamos a ocupar de sus matemáticas. Tenían unos conocimientos matemáticos considerablemente avanzados. Sin llegar a la madurez que más adelante tendrían los griegos, los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban: tras la inundación anual del Nilo, las lindes desaparecían y tenían que volverlas a marcar, las construcciones (pirámides, templos,...), el comercio, los repartos,...


        Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Al contrario que a los matemáticos griegos, no les preocupó la resolución teórica ni la reflexión sobre problemas matemáticos (numéricos, aritméticos o geométricos), sino su inmediata aplicación práctica. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y Babilonia aprendiendo de estos pueblos. 
 

 Dominaron los números y sus operaciones

        Conocieron los números naturales y los racionales positivos de numerador 1, su aproximación al valor de p=3'16 fue la más acertada en la antigüedad. Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas para aplicarlas a los problemas de áreas.
        Aunque la suma funcionaba bien, el sistema de numeración egipcio presentaba algunas dificultades aritméticas entre las que destaca la práctica imposibilidad de organizarlos para multiplicar. Sin embargo consiguieron que la aritmética fuera su fuerte; la multiplicación y las fracciones no tenían secretos para ellos. La multiplicación se realizaba a partir de duplicaciones y sumas, y en la división utilizaban la multiplicación a la inversa.
        El sistema de numeración egipcio, era un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición, así sus números se escribían de la siguiente manera:
Como puedes ver en la siguiente reproducción de los números de Sothis:         Aquí te ponemos unos ejemplos:
• PROBLEMA: ¿Serás capaz de traducir a nuestro sistema de numeración los números egipcios siguientes y los nuestros al sistema egipcio?

          Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. Su notación era la siguiente:

 
• PROBLEMA: ¿Serás capaz de realizar las siguientes operaciones y escribir el símbolo egipcio que corresponde en los puntos suspensivos?

        Gracias a algunos de los papiros encontrados, entre ellos el de Rhind y el de Moscú, se conoce bastante respecto a las matemáticas de los egipcios. En ellos, se conservan resoluciones de problemas, con su planteamiento, operaciones y hallazgo de solución.         El principal texto matemático egipcio que se conoce, el Papiro de Rhind, fue escrito por un escriba (el único personaje que realizaba cálculos en Egipto, al que se le exigía el manejo de la multiplicación) bajo el reinado del Rey Hicso Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. C.

NOVENO

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen o dominio de la función y se representa por Dom(f ).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y  denominada variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final  y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).

                                                 

                                                   

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

                                           

                                             

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

· El conjunto inicial o dominio de la función.

· El conjunto final o imagen de la función.

· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

                                           

                                              

asigna a cada número real su cuadrado.

El dominio está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f.

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

Una función f  asigna a cada número x  del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de gráfica  de la función.

UNDÉCIMO

¿Qué son las funciones lineales? Algunos ejemplos.

La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos.

Una función lineal tiene la forma general  

Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).  

La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.  

Ejemplo: Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (función ingreso)  

donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.  

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

Podemos observar:  

1.      Es función creciente

2.      Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 

3.      D (f) = R₀⁺

I (f) =  

En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales, 

Por ejemplo:  

Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)

Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente.  

Longitud de la circunferencia en función del radio.  

Unidad de riego en función de la superficie.

TECNOLOGÍA MATEMÁTICA

La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y mejora el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
Las tecnologías electrónicas, tales como calculadoras y computadores, son herramientas esenciales para enseñar, aprender y “hacer” matemáticas. Ofrecen imágenes visuales de ideas matemáticas, facilitan la organización y el análisis de los datos y hacen cálculos en forma eficiente y exacta. Ellas pueden apoyar las investigaciones de los estudiantes en todas las áreas de las matemáticas, incluyendo números, medidas, geometría, estadística y álgebra. Cuando los estudiantes disponen de herramientas tecnológicas, se pueden concentrar en tomar de decisiones, razonar y resolver problemas.
Los estudiantes pueden aprender más matemáticas y en mayor profundidad con el uso apropiado de la tecnología (Dunham y Dick 1994; Sheets 1993; Boears.van Oosterum1990; Rojano 1996; Groves 1994). La tecnología no se debe utilizar como un reemplazo de la comprensión básica y de las intuiciones; más bien, puede y debe utilizarse para fomentar esas comprensiones e intuiciones. En los programas de enseñanza de las matemáticas, la tecnología se debe utilizar frecuente yresponsablemente, con el objeto de enriquecer el aprendizaje de las matemáticas por parte de los alumnos"La existencia, versatilidad y poder de la tecnología hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deben aprender los estudiantes, así como también la
mejor forma de aprenderlas"En las aulas de matemáticas contempladas en los Principios y Estándares, cada estudiante tiene acceso a la tecnología con el fin de facilitar su aprendizaje matemático, guiado por un docente experimentado.

LA TECNOLOGÍA REALZA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

La tecnología puede ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas. Por ejemplo, con calculadoras y computadores los alumnos pueden examinar más ejemplos o representaciones de formas de las que es posible hacer manualmente, de tal manera que fácilmente pueden realizar exploraciones y conjeturas. El poder gráfico de las herramientas tecnológicas posibilita el acceso a modelos visuales que son poderosos, pero que muchos estudiantes no pueden, o no quieren, generar en forma independiente. La capacidad de las herramientas tecnológicas para hacer cálculos amplía el rango de los problemas a los que pueden acceder los estudiantes y además, les permite ejecutar procedimientos rutinarios en forma rápida y precisa, liberándoles tiempo para elaborar conceptos y modelos matemáticos.
El nivel de compromiso y apropiación por parte de los alumnos, de ideas matemáticas abstractas, puede fomentarse mediante la tecnología. Esta enriquece el rango y calidad de las investigaciones porque suministra una manera de visualizar las ideas matemáticas desde diferentes perspectivas. El aprendizaje de los estudiantes está apoyado por la retroalimentación que puede ser suministrada por la tecnología; arrastre un nodo (drag a node) en un ambiente Geométrico Dinámico®, y la imagen en la pantalla se modifica; cambie las reglas definidas en una Hoja de Cálculo, y observe como los valores dependientes varían. La tecnología también suministra un punto focal, cuando los estudiantes discuten entre sí y con su maestro, acerca de los objetos que muestra la pantalla y los efectos que tienen las diferentes transformaciones dinámicas que permite realizar la tecnología.
La tecnología ofrece a los docentes opciones para adaptar la instrucción a necesidades específicas de los alumnos. Los estudiantes que se distraen fácilmente, pueden concentrarse mejor cuando las tareas se realizan en computador, y aquellos que tienen dificultades de organización se pueden beneficiar con las restricciones impuestas por un ambiente de computador. Los estudiantes que tienen problema con los procedimientos básicos pueden desarrollar y demostrar otras formas de comprensión matemática, que eventualmente pueden a su vez, ayudarles a aprender los procedimientos. Las posibilidades de involucrar estudiantes con limitaciones físicas con las matemáticas, se incrementan en una forma dramática con tecnologías especiales.

LA TECNOLOGÍA APOYA LA ENSEÑANZA EFECTIVA DE LAS MATEMÁTICAS

La utilización adecuada de la tecnología en el aula de matemáticas depende del docente. La tecnología no es una panacea. Como con cualquier herramienta de enseñanza, puede usarse adecuada o deficientemente. Los docentes deberían utilizar la tecnología con el fin de mejorar las oportunidades de aprendizaje de sus alumnos, seleccionando o creando tareas matemáticas que aprovechen lo que la tecnología puede hacer bien y eficientemente (graficar, visualizar, calcular). Por ejemplo, los docentes pueden utilizar simulaciones para ofrecer a los estudiantes la experiencia de problemas que son difíciles de crear sin la tecnología, o pueden utilizar datos y recursos de Internet y de la Red para diseñar tareas para los alumnos. Las Hojas de Cálculo, el software dinámico de geometría y los micro mundos, también son herramientas útiles para plantear problemas importantes [1].
La tecnología no reemplaza al docente de matemáticas. Cuando los alumnos utilizan herramientas tecnológicas, muchas veces trabajan de formas que los hacen aparecer como independientes del maestro; sin embargo esta es una impresión engañosa. El docente juega varios roles importantes en un aula enriquecida con la tecnología, toma decisiones que afectan el proceso de aprendizaje de los alumnos de maneras importantes. Inicialmente el docente debe decidir si va a utilizarse tecnología, cuándo y cómo se va a hacer. A medida que los estudiantes utilizan calculadoras y computadores en el aula, el docente tiene la oportunidad de observarlos y fijarse cómo razonan. A medida que los estudiantes trabajan haciendo uso de la tecnología, pueden mostrar formas de razonamiento matemático que son difíciles de observar en otras circunstancias. Por lo tanto la tecnología ayuda en la evaluación, permitiendo a los docentes examinar los procesos que han seguido los alumnos en sus investigaciones matemáticas, como también, en los resultados obtenidos, enriqueciendo así la información disponible para que los docentes la utilicen cuando van a tomar decisiones relacionadas con la enseñanza.