Fotografías matemáticas
El mundo está lleno de formas geométricas, de objetos y lugares con sugerencias matemáticas. Sólo se precisa una mirada matemática que los descubra.  Una selección de estas fotos ha obtenido en 2013: Premio del Concurso Fotográfico de las XVI JAEM

DÉCIMO GRADO

IDENTIDADES

La operatoria para el desarrollo de la verificación tiene tres variantes, en general cada profesor recomienda una o mas de los tres formas que paso a detallar:

a) Partiendo del primer miembro se llega al segundo por aplicación de operatoria y reemplazo de identidades.

b) Partiendo del segundo miembro se llega al primero por aplicación de operatoria y reemplazo de identidades.

c) Se opera con los dos miembros por aplicación de la operatoria y el reemplazo de identidades hasta llegar a una igualdad evidente.

En esta clase de ejercicios nunca se realiza pasaje de términos de un miembro a otro de la igualdad, en consecuencia, los términos siempre permanecen en el miembro en que se originaron.

Estudia cada uno de los procedimientos empleados en la solución de los siguientes demostraciones y practica.

1
1

2

3

4

5

UNDÉCIMO GRADO

Función Compuesta

Siempre que se tienen dos funciones g y f se puede definir una nueva función de manera que la variable dependiente de g sea a su vez la variable independiente de f. Observa la siguiente ilustración entre los conjuntos.

 

 

Ejemplo 1

Si f(x) = 2x²+1   y   g(x) = x -1 entonces

( f o g )(1) = f ( g (1) )

 

f ( g ( 1 ) ) =  f ( 0 )

        

f ( 0 ) = 2 ( 0 )² + 1 = 1

Finalmente ( f o g )(1) = 1.

Ejemplo 2

Si f(x) = 2x²+1   y   g(x) = x -1 entonces

( f o g )(x) = f ( g (x) )

 

f ( g ( x ) ) =  f ( x-1 )

        

f ( x-1 ) = 2 ( x-1 )² + 1

             = 2 ( x² – 2x + 1) +1

             = 2x² – 4x + 2 + 1

             = 2x² – 4x + 2

 Finalmente (f o g)(x) = 2x² – 4x + 2.

Trabaja problema seleccionado 3 de la página 169.

PRACTICA

Usa las funciones f y g del ejemplo anterior y halla:

  ( f o g )(-1)

  ( f o g )(2)

  ( g o f )(-2)

  ( g o f )(a)

RESPUESTAS

Un ejercicio interesante es cuando conoces la regla definida en la composición y deseas saber cuáles funciones la producen, esto se llama descomposición.

Ejemplo:

Halla f y g  si  (f o g)(x) = ( 2x+3 )²

 

  Observa que la regla definida es multiplicar por 2, sumar 3 y cuadrar

  En la composición ( f o g )(x),  la primera función que actúa es g

  En la regla ( 2x+3 )², la primera operación que se realiza al seguir el orden de las operaciones, es aquella del paréntesis, ( 2x + 3 )

  asigna esa regla a la función g, esto es, define g (x) = 2x + 3

  la otra regla, cuadrar, se la asignas a la función f, esto es, f (x) = x²

Verifica, si f (x) = x²   y  g (x) = 2x + 3 , entonces:

( f o g ) (x) = f ( g (x) ) = f ( 2x + 3 ) = ( 2x+3 )²; lo que se quería.

MATEMÁTICO FAMOSO  Galileo Galilei

		Nació : 15 de Febrero de 1564 en Pisa (Ahora Italia)
		Falleció : 8 de Enero de 1642 en Arcetri (cerca de Florencia), (Ahora Italia)

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 Tenía setenta y nueve años de edad y su cabello y su barba eran tan blancos como la espuma. Sus ojos, que miraron al cielo a través de sus telescopios y observaron más que cualquier ser humano desde el principio de los tiempos, estaban apagados por la edad. Su reputación de ser uno de los más brillantes científicos de su tiempo fue la razón de que reyes, reinas disputaran sus servicios. Ahora estaba arrodillado ante el temido tribunal de la Inquisición, obligado a confesar públicamente un error que no era error: " Yo Galileo Galilei..., abandono la falsa opinión... de que el Sol es el centro (del Universo) y está inmóvil....Abjuro, maldigo y detesto los dichos errores". Algunos dicen que cuando el anciano se puso de pie murmuró para sus adentros: "E pur si muove" : Y sin embargo (la Tierra) se mueve (alrededor del Sol).

Galileo nació en una familia de siete hijos, con un padre que era un talentoso músico y un hombre de considerable cultura. A temprana edad, Galileo prometía mucho tanto mental como manualmente. Tenía diecisiete años cuando ingresó a la Universidad de Pisa, donde se especializó en medicina y estudió también matemáticas y ciencias físicas.

Una vez cuando todavía estudiaba en Pisa, observó la regularidad con que oscilaba una lámpara en la catedral. Apenas pudo esperar hasta que volvió a su casa para experimentar con bolitas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes. Descubrió que, cualquiera que fuese la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita necesitaba el mismo tiempo para completar un viaje de ida y vuelta. Sólo el cambio de la longitud afectaba el tiempo de la oscilación (periodo de vibración). Esta observación condujo al invento del péndulo, usado en los relojes y otros instrumentos para medir con precisión el tiempo. Leyó las obras de Arquímides y usó las matemáticas para probar algunos de los experimentos de este último con líquidos y aleaciones. Como estudiante, tuvo una mente inquisitiva y fama de disputador.

A los veinticinco años fue nombrado profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa. Como profesor Galileo prosiguió su búsqueda de la verdad, analizando las teorías científicas de Aristóteles mediante la aplicación de las matemáticas y las observaciones experimentales.

Creó el concepto dela aceleración que se usa en la física moderna (la aceleración es el incremento de la velocidad por unidad de tiempo) y el concepto moderno de la fricción y la inercia con respecto a los objetos en movimiento. Analizó los componentes de la fuerza, demostrando, por ejemplo, que las fuerzas que afectan a la trayectoria de una bala son hacia abajo y hacia adelante, de tal manera que pueden medirse sistemáticamente. Estos experimentos iniciados antes del 1590, fueron perfeccionados y publicados en 1638 en su obra Diálogos sobre dos nuevas ciencias (movimiento y mecánica).

La obra de Galileo, que inició la comprensión de estas esferas, llevó a la formulación de las leyes de movimiento de Newton, más precisas, y al perfeccionamiento que de esas leyes hicieron más tarde otros científicos.

Galileo resultó un rebelde en otros sentidos. Así, por ejemplo, se negaba a ponerse las ropas académicas que usaban sus colegas, aduciendo que estorbaban innecesariamente sus movimientos. Por no usarlas, se le obligó a pagar varias multas, hasta que fue despedido de la facultad de Pisa.

Galileo fue un hombre muy generoso con su familia. Asumió la responsabilidad de una considerable dote para el matrimonio de su hermana. Un hermano joven le pedía constantemente dinero para poder vivir con elegancia.

El hecho de que Galileo tuviera que abandonar la Universidad de Pisa resultó afortunado, pues obtuvo un empleo mejor pagado en la Universidad de Pasuda. Su vida fue feliz y productiva durante muchos años.

Cómo aprovechar el tiempo en vacaciones

Estas son las diez recomendaciones para un mejor uso del tiempo especialmente vacacional:

1) Seguir unos horarios durante nuestras vacaciones. No conviene pasar de un periodo de tiempos ocupados por el trabajo ( colegio) a un tiempo de anarquía en materia de horarios.Trabajar un poco en nuestras dificultades académicas, es recomendable.

2) Aprovechar las comidas. Las comidas apresuradas, tan frecuentes durante el resto del año, deben dar paso en vacaciones a comidas más pausadas y en familia.

3) Evitar el sedentarismo. Las vacaciones son un periodo para descansar y dejar de lado el estrés del día a día, claramente todo esto, después de haber cumplido con todas nuestras obligaciones. Pero esto no debería asociarse con la inactividad. «Tirarse a la cama» es un ejercicio legítimo e incluso recomendable durante las vacaciones, pero también es necesario aprovehar el tiempo libre para hacer ejercicio.

4) Desconectar. El único modo de descansar es dejando de lado los problemas cotidianos . 

5) Evitar las jornadas maratonianas. En ocasiones, al realizar un viaje o excursión nos vemos con el apremio de visitar lugares a toda prisa. Es necesario evitar el riesgo de acabar más cansados que cuando comenzamos las vacaciones.

6) Planificar las excursiones y viajes. La planificación en familia de las jornadas nos facilitará optimizar mejor nuestro tiempo.

7) Dedicar tiempo a la familia y a los amigos. Es importante que aprovechemos el tiempo vacacional para estar con esas personas que durante todo el año están a nuestro lado, pero que por diversos motivos tenemos descuidadas.

8) Reservar tiempo para uno mismo. Tras un largo periodo laboral sujeto a una serie de obligaciones, se debe dar paso a un periodo donde la máxima sea la autorrealización de la persona.

9) Dedicarnos a nuestras aficiones. El periodo vacacional es un excelente momento para llevar a cabo las aficiones y proyectos que durante el año no hemos podido realizar.

10) Buenos propósitos. Las vacaciones es un tiempo en el que toman valor aspectos de nuestra vida que teníamos un poco olvidados como la vida familiar.

En definitiva, se trata de una mejor gestión del tiempo no solo en vacaciones sino durante todo el año, ya que los horarios racionales,  pueden servir para conciliar nuestra vida personal y familiar ; aumentar la productividad; apoyar el rendimiento escolar; favorecer la igualdad  y, en definitiva, mejorar nuestra calidad de vida.

Piedra, papel y tijera

IMPORTANCIA DEL JUEGO EN EL ESTUDIO DE 

LAS MATEMÁTICAS

Las matemáticas siempre han tenido un sentido lúdico. Muchas de las profundas reflexiones alrededor de los problemas matemáticos han estado teñidas de una motivación y un reto apasionante que produce placer y sensación de búsqueda y logro. Para Arquímedes, Euclides, Leibniz o Einstein las matemáticas tuvieron los trazos de una apasionante aventura del espíritu. Las matemáticas, al igual que están en todo lo que conocemos, se encuentran claramente dibujadas en los juegos y acertijos.

Al igual que las matemáticas el juego es parte de la vida y tiene un papel determinante en el desarrollo intelectual de la infancia. El juego en los niños y niñas puede ser serio, acaparador y bastante agotador, algunos juegos son de imitación, otros tienen que ver con la fantasía, algunos pueden ser ritos muy determinados, puede ser un actividad de grupo o individual, pueden ser fuente de placer y de gran esfuerzo o disgusto.

El primer tipo de juego de los bebés es el de la manipulación sensoria motriz, en cuanto el bebé puede controlar sus movimientos los empieza usar y explorar en forma de juego. El juego sensorio motriz puede ser chuparse el dedo, patear los costados de la cuna. Los juegos son importantes porque son el método de exploración de las cosas nuevas. Con el juego los bebés, manipulan, exploran y actúan pero también le brindan apego y seguridad.

Hay otro tipo de juegos en los cuales los niños y niñas echan a volar su imaginación y fantasía. Para los niños, los objetos pueden convertirse en cualquier otra cosa: Un palo puede ser un caballo y cuatro líneas una casita, estos juegos han sido llamados simbólicos. Los juegos simbólicos son importantes para comprender los significados y son determinantes para la inteligencia y la relaciones de los niños con otros.

Posteriormente los juegos con reglas le dan una nueva dimensión al desarrollo del intelecto y le imprimen un sentido social. En estos juegos los niños aceptan voluntariamente las reglas como limites convencionales sometiéndose a las consecuencias y recompensas de su acción. Las reglas en sí, le dan estructura al juego y aumentan el reto.

En conclusión, el juego es un modo de acción, de expresión y de vivencia de experiencias altamente desarrollado e insustituible para el desarrollo intelectual de los niños y niñas. Toma diversas formas a través de las etapas de la vida de las personas y de su entorno histórico, social y tecnológico.

El juego está vinculado al juguete, un juguete puede ser tanto piedrecillas, como un palo, un trozo de tela, canicas, un televisor o un ordenador. El valor del juguete como instrumento de juego para el desarrollo intelectual está directamente relacionado con la participación activa que el niño tenga. Si el niño opera y crea sobre él, es más valioso que si el niño sólo recibe pasivamente.

El juego y los juguetes son los procesos y los instrumentos con los cuales los niños desarrollan naturalmente su mente. El desarrollo de la inteligencia de los niños no consiste en saturar la mente de los niños con la información que nosotros consideramos necesaria, sino favorecer la utilización de sus potenciales intelectuales de manera gradual, respetuosa y armoniosa a los procesos naturales. El juego es una verdadera posibilidad de hacerse con habilidades de pensamiento adecuados para resolver problemas matemáticos y no matemáticos bajo un esquema de pensamiento lógico.

Tetrakys es un material que facilita las diferentes formas de juegos. Los niños manipulan, representan simbólicamente y se introducen en juegos con reglas en grupo y en retos individuales. Jugar con Tetrakys es una manera de vivir la experiencia matemática.

Piedra, papel y tijera

Es un juego de manos que consta de tres elementos:

La piedra  gana a la tijera rompiéndola, la tijera vence al papel cortándolo y elpapel trunfa sobre la piedra envolviéndola.

Matemáticamente es un juego no transitivo y según la teoría de juegos, la estrategia óptima es la elección aleatoria. Como el número de partidas es reducido, tiene mucha importancia la psicología de los jugadores.

Los jugadores dicen Piedra... Papel... y ¡Tijera! y justo al acabar muestran todos al mismo tiempo una de sus manos, de modo que puede verse la elección de cada uno.

Existe una expansión que incorpora dos nuevos elementos: Spock y lagarto, creada por Sam Kass y apareció en un capítulo de la comedia The Big Bang Theory.

ganador	acción	perdedor
tijera	decapita	lagarto
tijera	corta	papel
papel	tapa	piedra
papel	desautoriza	Spock
piedra	lapida	lagarto
piedra	aplasta	tijera
lagarto	come	papel
lagarto	envenena	Spock
Spock	vaporiza	piedra
Spock	rompe	tijera

ACERTIJOS CON DINERO

-Si me das tu pistola de agua", dice el pequeño Tommy a su compañerito de juegos, yo te daré mi camión. Esta clase de comercio es llamada "trueque". En las sociedades primitivas es la única manera en la que las cosas pueden "comprarse" y "venderse". 

Si se piensa un momento en el tema se verá que es un sistema muy pobre. Un hombre que desee vender su vaca y comprarse un caballo no podrá hacerlo mientras no encuentre a otro que quiera vender su caballo y comprarse una vaca. Pueden pasar años antes de que encuentre a ese hombre. Y supongamos que un hombre quiera cambiar su vaca por una oveja que pertenece a un amigo y un cerdo que pertenece a otro. ¡No puede cortar su vaca por el medio y cambiar cada mitad por separado! De modo que ya ven, en cualquier sociedad complicada en la que se venden y compran muchas cosas, es necesario tener algo llamado dinero, algo que puede dividirse en cualquier cantidad que se desee y que tiene un valor con el que todo el mundo está de acuerdo. 
En el pasado se ha usado casi cualquier cosa como dinero, pero el dinero de hoy consiste en monedas hechas de metal o billetes impresos. La matemática tiene pocos usos más importantes que el de saber resolver problemas de dinero. Los siguientes cinco problemas pondrán a prueba tu capacidad en este aspecto, y tal vez te enseñen unas cuantas cosas que antes no entendías del todo. 

 El ciclomotor de segunda mano

 
Bill vendió su ciclomotor a Tom por $100. Después de usarlo durante unos días, Tom descubrió que estaba tan arruinado que se lo revendió a Bill por $80. 
El día siguiente, Bill se lo vendió a Herman por $90. 
¿Cuánto es la ganancia total de Bill? 

Solución
Este pequeño acertijo nunca deja de provocar discusiones. La mayor parte de las personas adopta una de las tres posiciones siguientes: 

1.  No sabemos cuánto costó originariamente el ciclomotor, así que después de la primera venta no tenemos manera de averiguar si Bill tuvo o no ganancias. Sin embargo, ya que volvió a comprarlo por $80 y lo revendió a $90, resulta claro que tuvo una ganancia de $10. 

2.  Bill vendió su ciclomotor por $100 y lo volvió a comprar por $80. Tiene ahora el mismo ciclomotor más $20 que antes no tenía, así que su ganancia es de $20. La venta siguiente no nos dice nada, porque no conocemos el verdadero valor del ciclomotor, así que la ganancia total de Bill es de $20. 

3.  Después de que Bill vuelve a comprar el ciclomotor, su ganancia es de $20 tal como se ha explicado. Ahora lo vende por $10 más de lo que pagó por él, por lo que tiene una ganancia adicional de $10. Ganancia total, entonces, $30. 

¿Cuál es la correcta? ¡La respuesta es que todas son igualmente correctas! En una serie de transacciones que involucran el mismo objeto, la "ganancia total" es la diferencia entre lo que se pagó por él y la cantidad que uno tiene al final. Por ejemplo, si Bill hubiera pagado $100 por el ciclomotor, y termina después con $110, podríamos decir que su ganancia total es de $10. Pero como no conocemos el precio original del ciclomotor, no podemos decir a cuánto asciende su ganancia final. 
Sin embargo, la respuesta puede ser diferente si se da otro significado a la expresión "ganancia total". Muchos problemas de la vida son así. Se los llama "problemas verbales" o "problemas semánticos" porque tienen respuestas diferentes según la manera en que uno entienda las palabras más importantes de la enunciación del problema. No hay respuesta "correcta" si no existe un acuerdo acerca del significado de los términos.