CONOCE A ...

Arquímedes

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.) Matemático griego. Hijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico.

Arquímedes

De la biografía de Arquímedes, gran matemático e ingeniero, a quien Plutarco atribuyó una «inteligencia sobrehumana», sólo se conocen una serie de anécdotas. La más divulgada la relata Vitruvio y se refiere al método que utilizó para comprobar si existió fraude en la confección de una corona de oro encargada por Hierón II, tirano de Siracusa y protector de Arquímedes, quizás incluso pariente suyo. Hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el agua desbordaba de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella; esta observación le inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó el tirano. Se cuenta que, impulsado por la alegría, corrió desnudo por las calles de Siracusa hacia su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!».

La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática; corresponde al famoso principio que lleva su nombre y, como allí se explica, haciendo uso de él es posible calcular la ley de una aleación, lo cual le permitió descubrir que el orfebre había cometido fraude.

Según otra anécdota famosa, recogida por Plutarco, entre otros, Arquímedes aseguró al tirano que, si le daban un punto de apoyo, conseguiría mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que pusiera en práctica su aseveración, logró sin esfuerzo aparente, mediante un complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navío de tres mástiles con su carga.

Son célebres los ingenios bélicos cuya paternidad le atribuye la tradición y que, según se dice, permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo; también se cuenta que, contraviniendo órdenes expresas del general romano, un soldado mató a Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un problema matemático en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado en Herculano.

El esfuerzo de Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propósito respecto a la geometría; esfuerzo que se refleja de modo especial en dos de sus libros: en los Equilibrios planos fundamentó la ley de la palanca, deduciéndola a partir de un número reducido de postulados, y determinó el centro de gravedad de paralelogramos, triángulos, trapecios, y el de un segmento de parábola. En la obra Sobre la esfera y el cilindro utilizó el método denominado de exhaustión, precedente del cálculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para establecer la relación entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo se grabó sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes cuando ésta había sido ya olvidada.

Un mundo de variaciones topológicas

La mayor parte de los objetos en estas páginas, tales como la esfera (abajo) que se transforma en primer lugar en un cubo y después en una masa sin forma, o como el imposible neumático elástico de la página derecha, están realizando lo que los topólogos llaman transformaciones. Estas son variaciones en la forma de una superficie que dejan inalteradas ciertas propiedades básicas. Para un topólogo una figura transformada así no ha variado en forma alguna.

Cuando un chiquillo coge una bola de barro, y la transforma en una caja y después en un disco, está realizando transformaciones topológicas similares a las que se ilustran en ésta y en las páginas siguientes. Lo que ha hecho es deformar la bola de barro sin romperla.

Todas las transformaciones topológicas demostradas abajo comprenden una propiedad denominada "el género". Este se define por el número de agujeros que tiene el objeto o, como dicen los topólogos, por el número de cortes circulares cerrados sin intersección o completamente circulares que pueden hacerse en dicha superficie sin romperla en dos partes.

REALIZANDO TRANSFORMACIONES

En las tres filas de variaciones topológicas de arriba, los objetos pueden transformarse uno en el otro al retorcerlos, doblarlos o darles otra forma. Pero una esfera no podría transformarse en rosquilla o una jarra para leche en un cubo, sin hacer o eliminar un agujero.

LA DETERMINACIÓN DEL GÉNERO

Las tres figuras ilustran el género. No se puede hacer ningún corte alrededor de la esfera sin dividirla; por tanto su género es 0. Sólo se puede hacer un corte en una rosquilla sin dividirla: su género es 1. Una figura de 2 agujeros tiene género 2

DANDO LA VUELTA A UN NEUMÁTICO En un ejercicio de imaginación topológica, un neumático que pueda estirarse infinitamente puede dársele la vuelta sin que se rompa. Primero (parte superior izquierda) el agujero de la válvula (señalado en rojo) se abre estirándola. La abertura después se hace sucesivamente más ancha hasta que hay más agujero que neumático. Al torcerlo dos veces (pasos 6 y 7) se da la vuelta al neumático

GIROS TOPOLÓGICOS

Sacarse un chaleco sin tener que sacarse la chaqueta es un movimiento simple aunque arduo. Los cuadros de abajo muestran el esfuerzo de un hombre por sacarse su chaleco. Desde un punto de vista topológico el chaleco jamás estuvo dentro de la chaqueta.

EL GÉNERO DE CUATRO OBJETOS COTIDIANOS

El amplio conjunto de objetos familiares cuyas superficies pueden identificarse topológicamente, se ilustra en esta página. Arribo, de izquierdo a derecha, se hallan superficies de género 0, 1, 2 o tres o más. Abajo hay un grupo de formas distintas, codo una de las cuales puede transformarse topológicamente. Las superficies del mismo género tienen igual color.

TOPOLOGÍA DE UNA CARA Deformada en el espejo de la “casa de los misterios” la cara del hombre y su reflejo son las mismas: un punto y su vecindad en una, corresponden a un punto y su vecindad en otra

LA TIRA DE MÖBIUS CON UN SOLO LADO Una tira de Möbius se hace fácilmente con una tira lisa de papel corriente: primero se da media vuelta a la tira y después se unen los extremos para obtener un anillo cerrado.

«DIVISIÓN» DE UNA TIRA DE MÖBIUS

Cuando se hace un corte por la mitad de una tira de Möbius podría esperarse dividir la tira en dos. Pero cuando se traza una línea alrededor de la tira (arriba) y la tira se corta a lo largo de la línea, el resultado no es dos tiras sino una tira de dos lados. Una tira de Möbius sólo tiene un borde; el corte añade un segundo borde, y un segundo lado.

7. La "división' de una tira de Möbius
Los topólogos disfrutan creando formas extrañas y objetos raros. Entre los más curiosos de éstos se halla la superficie de un lado, introducida por el matemático alemán y astrónomo Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868). En un artículo, Möbius describía su superficie de papel como una tira que tiene "un solo lado". Esta tira de un lado, difícil de imaginar pero fácil de construir (arriba) tiene toda clase de propiedades inesperadas.
Otro matemático alemán, Felix Klein (1849-1925), siguiendo las directrices de Möbius, ideó una botella con una sola superficie (lado opuesto). Dicha botella, de cortarse por la mitad de su longitud, se transformaría entonces en dos tiras de Möbius.
La obra de Möbius y Klein siempre ha fascinado al lego. Hace algunos años un mal poeta escribió:

"Un matemático creía Que la tira de Möbius tiene sólo una cara. Usted mucho se reirá Si la corta por la mitad. Ya que al dividirla queda en una sola pieza". Otro poeta terminó la historia: "Un matemático llamado Klein Creyó divina la tira de Möbius. Dijo, si usted pega los bordes de dos tiras obtendrá una botella igual que la mía".

DANDO COLOR A UNA TIRA DE MÖBIUS

Cualquiera puede pintar un anillo de papel ordinario de color rojo por un lado y verde por el otro. «Pero ni siquiera Picasso podría hacer esto con una tira de Möbius». Si alguien lo intentara vería que la tira tiene únicamente un lado en el que coinciden ambos colores.

TIRA DE MÖBIUS EN TRES PARTES

Una tira de Möbius cortada en tres partes (arriba) da lugar a una nueva sorpresa: Las tijeras hacen dos vueltas completas alrededor de la tira pero sólo un corte unitario continuo. El resultado final de este corte son dos tiras entrelazadas (arriba, parte derecha). Una de las tiras es un aro de dos lados y la otra es ahora una nueva tira de Möbius.

LA BOTELLA QUE NO TIENE INTERIOR

Este modelo de una botella de Klein, que no tiene «ningún interior», pertenece al topólogo Albert W. Tucker, de la Universidad de Princeton. Nadie verá jamás una verdadera botella Klein ya que ésta sólo existe en la imaginación del topólogo, la "botella Klein se atraviesa a si misma sin que haya ningún agujero.

CONSTRUCCIÓN DE LA BOTELLA DE KLEIN Los tres diagramas de la izquierda ilustran cómo se hace la botella de Klein: (1) un extremo del tubo se convierte en el cuello, el otro extremo en la base; (2) el cuello atraviesa el lado de la botella; (3) el cuello y la base se unen, transformando en una sucesión continua el interior y el exterior

8. Colorear un mapa: el enigma de los topólogos

Los mapas siempre lían fascinado a los topólogos en virtud de ciertas cualidades que poseen. Durante mucho tiempo la regla que han observado los que hacen mapas es que cuatro colores son suficientes para diferenciar cada país de todos sus vecinos inmediatos. El caso de un mapa plano o una esfera es el mismo, ya que cualquier mapa en una esfera puede transformarse en un mapa plano similar agujereando la esfera y aplanándola. Pero hay casos en que se requieren más de cuatro colores. Un mapa trazado en una tira de Möbius requiere seis colores. Y cuando un topólogo enrolla y dobla un mapa plano en forma de rosquilla (a la que llama toro), el mapa que sólo requiere cuatro colores puede necesitar siete

 

EL TEOREMA DEL MAPA DE DOS COLORES

Una de las reglas más simples de topología para colorear un mapa afirma que si se pudiera trazar totalmente un mapa plano a base de líneas rectas que empezaran y terminaran en un borde, podría colorearse con dos colores sin que ninguna área adyacente tuviera el mismo color. Esto es cierto sin tener en cuenta el número de líneas que tenga el mapa. Los tres diagramas de arriba demuestran la teoría. A la izquierda hay un mapa plano en dos colores, cuando se añade una línea al azar (centro) todavía se usan dos colores (derecha)

En todo esto, existe para los topólogos un tipo de exasperación constante. Ha podido demostrar que sólo se necesitan seis colores en una tira de Möbius y siete colores, a lo más, en un toro; pero no ha podido demostrar lo que durante mucho tiempo han sabido los que hacen mapas, que cuatro colores son suficientes para cualquier mapa plano o esfera. Los topólogos, desde la época de Möbius han tratado de trazar un mapa plano en el que se necesiten cinco colores: nadie lo ha hecho, pero tampoco nadie ha probado que sea algo que no pueda.

TEOREMA DEL MAPA DE 4 COLORES La forma más simple para mostrar que se necesitan cuatro colores para un mapa plano es trazar cuatro regiones en forma tal que cada una esté unida con las otras tres, como en el diagrama de arriba. Cada una de las tres áreas exteriores requiere su propio color, y el centro debe tener otro.

En el mapa bastan 3 colores para 7 Estados, pero el octavo Estado debe de pintarse con otro color

EL TEOREMA DEL MAPA DE SEIS COLORES Un mapa en una tira de Möbius requiere seis colores para que no haya áreas contiguas del mismo color. Pero si se corta la tira, el mapa plano resultante puede iluminarse con sólo cuatro colores. En una tira de Möbius, ningún mapa requiere más de seis colores

EL TEOREMA DEL MAPA DE SIETE COLORES En cualquier mapa sobre una superficie circular se necesita 7 colores para que ninguna región adyacente tenga el mismo. En las tres figuras, se unen los bordes de un mapa plano para hacer un tubo; los extremos del tubo se unen transformándolo en superficie circular

9. Puentes antiguos y la moderna teoría de la red
La teoría de la red es una de las formas más prácticas de la topología, con aplicaciones a los circuitos eléctricos y a la economía. Se originó hace unos 200 años, gracias a Leonhard Euler, que solucionó los problemas topológicos cien años antes que la topología se hubiera descubierto. Debido a una extraña coincidencia, ambos problemas resultaron ser parte de lo que hoy se llama teoría de la red.

UN LABERINTO VIVIENTE

Los laberintos de jardín hechos a base de arbustos fueron muy populares en la Europa del siglo XVIII. El de Williamsburg, Virginia, es copia fiel de Hampton Court en Inglaterra

PERDIDO EN UNA ISLA Este laberinto diseñado por un matemático inglés, tiene su meta en el centro de una isla de paredes que están, separadas de las otras paredes del laberinto. Por tanto es imposible llegar a la meta tocando siempre la pared con la mano.

UN FÁCIL CAMINO PARA ENTRAR En este diagrama del tipo de laberintos como el de Hampton Court (fotografía de arriba) el objetivo es el área abierta en el centro. Se llega fácilmente utilizando una simple regla: escójanse los caminos que no requieren que se levante la mano de la pared.

Los dos crucigramas que interesaron a Euler se referían a redes de líneas que conectaban un número de puntos.

LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

El antiguo mapa de la izquierda muestra la ciudad prusiana de Königsberg y la curva del río que la divide en cuatro áreas (señaladas por A, B, C y D). Siete puentes unen las áreas (en los círculos blancos). Las líneas rojas de trazo grueso indican todas las posibles rutas entre A, B, C y D, que siguen los puentes.

 

El diagrama de Königsberg muestra porque era totalmente imposible cruzar todos los puentes sin volver a cruzar por lo menos uno: en dicha red, como señaló Euler, es inevitable cruzar de nuevo algún puente siempre que hayan tres o más puntos en los cuales converjan una cantidad impar de caminos.

El primero de ellos comprendía los puentes de Königsberg. Había sido una tradición entre las gentes de la ciudad que los siete puentes no podían cruzarse todos en un camino continuo sin volver a cruzar la ruta en algún punto. Euler se dio cuenta de que éstos respondían a un importante principio, y prosiguió para demostrar matemáticamente por qué dicho camino era imposible.

LA FÓRMULA DE EULER

En cualquier figura de muchas caras o poliedro, Euler demostró que el número de aristas más dos es siempre igual al número de vértices más el número de lados. La fórmula es e + 2 = v + s. Por lo tanto, un cubo (arriba; tiene 8 vértices, 6 lados y 12 aristas. La fórmula es válida para formas geométricas complejas, como la figura de 240 lados que se muestra. Es un decaedro rómbico en forma de estrella; siempre tiene 360 aristas y 122 vértices.

10. Raro comportamiento de una superficie "transformada en sí misma"

Entre todas las transformaciones que estudia la topología las menos frecuentes, tal vez las menos comunes, son las que aparecen en estas páginas. Para el topólogo, una hoja de papel arrugada y un disco con los distintos puntos en su superficie dirigidos al exterior tienen el mismo tipo de variación. Según palabras de un matemático "se transforman de manera continua". Es decir, son superficies planas en las que todos los puntos posibles están cambiando simultáneamente en un patrón continuo. De tales transformaciones, los matemáticos han derivado el "teorema del punto fijo": Cuando una superficie "se transforma en sí misma" de esta manera, un punto de la superficie permanecerá donde estaba.

UN PELIRROJO TOPOLÓGICO
Como muestra el joven de la derecha, la mayor parte de las cabezas tienen un punto, en forma de remolino, del cual irradian todos los cabellos. Topo¡ lógicamente, sería imposible cubrir una esfera con cabello, o con líneas radiantes si no hubiera un punto fijo. Por la misma razón el viento no puede soplar en todas partes de la tierra a la vez.

UN PUNTO FIJO SOBRE UNA HOJA

Arrugar una hoja de papel (arriba) ilustra el «teorema de punto fijo». Se coloca primero una hoja de papel numerada sobre un duplicado exacto, de forma tal que todos los puntos de ambas hojas estén alineados. Después se arruga la hoja superior encima de la hoja inferior. Un punto de la hoja arrugada debe estar por encima todavía de su punto inicial.

UN PUNTO FIJO EN UN DISCO
Según el teorema del punto fijo, si todos los puntos alrededor del punto negro del disco de la derecha irradian hacia el exterior en un patrón de flujo continuo en dirección, pero no más allá del límite del disco, un punto (el punto negro) debe permanecer fijo.

Sistema de ecuaciones con una incógnita: es un sistema formado por dos o más inecuaciones que tiene una incógnita y se trata de averiguar que valores cumplen todas las inecuaciones.

Teorema de Pitágoras: en un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Thales: en toda recta paralela a un lado de un triangulo que corta a los otros dos lados determina un triangulo semejante al actual.

Proyección ortogonal: llamamos proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r al punto de intersección de la recta r con la recta perpendicular a r que pasa por P.

Teorema de la altura: la altura de un triángulo rectángulo correspondiente a la hipotenusa es media geométrica de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Teorema del cateto: cada uno de los catetos de un triangulo es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección ortogonal sobre ella.

Teorema de Heron: sirve para calcular el área de un triangulo sabiendo sus lados.

Trigonometría: es la parte de las matemáticas que estudia los lados y los ángulos de un triangulo.

Sistema centesimal: un grado centesimal es el ángulo que se forma al dividir un ángulo recto en 100 partes iguales.

Sistema sexagesimal: un grado sexagesimal es el ángulo que se forma al dividir un ángulo recto al dividir en 90 partes iguales.

Sistema de radianes: es el ángulo que teniendo su vértice en el centro del circulo su arco de longitud es igual al radio.

Circunferencia goniométrica: es la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1.

Seno de un ángulo: es igual al cateto opuesto dividido entre la hipotenusa.

Coseno de un ángulo: es igual al cateto contiguo dividido entre la hipotenusa.

Tangente de un ángulo: es igual al cateto opuesto dividido entre el cateto contiguo.

Vector fijo: AB es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Características del vector:

Modulo: es la longitud del segmento AB.

Dirección: es la dirección de la recta que pasa por AB.

Sentido: es la orientación de la recta cuando nos trasladamos de un punto a otro.

Punto de aplicación: es el origen del vector.

Vector equipolente: dado un vector, no nulo, es equipolente a otro vector fijo si tienen el mismo modulo la misma dirección y el mismo sentido.

Vector libre: llamamos vector libre al conjunto de todos los vectores fijos equipolentes a uno dado.

Ecuaciones de la recta:

Ecuación vectorial: si una recta r está determinada por un punto A y un vector no nulo u, se llama vector de la recta r, y u, vector director.

Ecuación paramétrica: para hallar la ec. paramétrica despejamos coordenadas de la ecuación vectorial.

Ecuación continua: para hallar la ec. paramétrica se despeja landa en las dos ecuaciones de las paramétricas y se igualan los resultados.

Ecuación punto pendiente: consiste en pasar multiplicando V2 de la ecuación al otro miembro.

Ecuación general: se hacen cuentas en la ecuación continua hasta llegar a una expresión de la forma.

Ecuación explicita: para hallarla se despeja de la ecuación continua o general la y.

Ángulo de dos rectas: el ángulo que forma dos rectas secantes es el ángulo menor que determina los dos rectas.

Población: es el conjunto de todos los elementos que cumplen una características.

Muestra: es cualquier subconjunto de la población.

Variable estadística: es una propiedad que permite clasificar a los individuos de la población. Hay dos caracteres que son:

-Cualitativos: los que no se pueden ni medir ni contar.

-Cuantitativos: son los que se pueden medir o contar.

Rango: rango o recorrido de una distribución es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

Desviación media: de una variable estadística X a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Varianza: se llama varianza de la variable aleatoria X a la medida aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.

Desviación típica: se llama desviación típica de una variable a la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Moda: Valor que tiente mayor frecuencia absoluta.

Altura (de un triangulo): es la dimensión de un cuerpo perpendicular a su base.

Mediana (de un triangulo): es la línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Mediatriz (de un triangulo): es la recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.

Bisectriz (de un triangulo): es la recta que pasando por el vértice lo divide en dos ángulos iguales.

Baricentro: punto donde se cortan las medianas de un triangulo.

Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas de un triangulo.

Incentro: centro de la circunferencia inscrita a una figura plana dada.

Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita.

EL ORIGEN DE LAS MATEMÁTICAS

Las matemáticas, como cualquier otro avance en la historia de la humanidad, parte de las necesidades del ser humano de contar, medir y determinar la forma de todo aquello que le rodeaba. Pero la realidad es que, determinar un origen concreto para la aparición de cada uno de los conceptos que sientan las bases de las matemáticas es bastante más complejo que establecer el origen de la rueda o el origen de la cartografía.

Para comenzar, hay que tener en cuenta que recientes estudios en la capacidad cognitiva de los animales han determinado que los números, mediciones y formas no son conceptos únicos del ser humano. Con los datos de estos estudios, se puede presuponer que los conceptos matemáticos aparecen en las sociedades cazadoras-recolectoras, aunque no en todas de la misma forma. Un ejemplo de la diferente evolución de las matemáticas (de los números más concretamente) en diferentes culturas se puede ver en el hecho de que existen algunos idiomas de tribus aisladas que no establecen la distinción entre cualquier número, utilizando únicamente como números “uno”, “dos” y “varios”, englobando este último a cualquier número mayor de dos.

I: Mono pensando

Más allá de suposiciones evolutivas difícilmente contrastables al 100%, podemos hablar de los primeros objetos arqueológicos encontrados que demuestran la aparición de conceptos matemáticos en antiguas culturas. La primera muestra de conceptos matemáticos en nuestros antepasados fue hallada en una cueva en Sudáfrica, y consiste en rocas de ocre adornadas con hendiduras con formas geométricas datadas en 70.000 años de antigüedad.

Adentrándonos en el campo de los números, la primera evidencia arqueológica la encontramos en el hueso de Lebombo, hallado en Suazilandia y datado en 35.000 años de antigüedad. Este objeto es un peroné de babuino con un total de 29 hendiduras que, según las excavaciones arqueológicas que se llevaron a cabo en 1973, fueron usadas por las mujeres de la época para mantener la cuenta de sus ciclos menstruales, ya que otros huesos y piedras se han encontrado con entre 28 y 30 hendiduras, existiendo siempre una marca significativa en la última.

Continuando con los restos arqueológicos, el siguiente hito lo encontramos en el hueso de Ishango, hallado cerca del nacimiento del río Nilo, al noreste del Congo y con una antigüedad de entorno a 20.000 años. Este hueso contiene una serie de marcas a lo largo de él divididas en tres columnas. La asimetría de estas muescas hace pensar que estas fueron utilizadas con fines más funcionales que decorativas.

II: Muescas en el hueso de Ishango

Se ha teorizado mucho sobre la verdadera utilidad de las muescas en esta muestra arqueológica, aunque fundamentalmente se barajan dos posibilidades. Por un lado que se trate de un calendario lunar de seis meses, y por otro que se traten de cálculos matemáticos. Lo primero sería solamente una ligera evolución sobre el hueso de Lebombo, así que centrándonos en la teoría matemática nos podemos encontrar con una gran peculiaridad interesante. La segunda de las tres columnas (b en el dibujo) presenta una serie de muescas agrupadas formando cuatro números (11, 13, 17, 19), conformando la primera secuencia de números primos registrada de la historia.

Pero si lo que queremos encontrar es un avance en las matemáticas que nos diferencie notablemente del resto del reino animal, nos tenemos que trasladar a las primeras civilizaciones conocidas de la India, en torno al año 3.000 a.C., donde se hayan las primeras evidencias de un sistema decimal, la aparición de ángulos rectos y formas geométricas complejas como conos o cilindros, así como reglas con subdivisiones pequeñas y precisas para establecer mediciones.

Luego llegarían las civilizaciones sumeria, egipcia y griega, cuyos avances son de sobra conocidos.

UNDÉCIMO GRADO

Consejos Para Exámenes Tipo Icfes

1. NO SE DESCUIDE: En primer lugar, empeñe sus últimos 2 años académicos a estudiar e ir revisando apuntes fundamentales de todas las áreas del conocimiento, y aunque no todos van a ser evaluados, le pueden servir para responder con mayor seguridad y efectividad.

2. EL QUE SABE, SABE: Cada persona tiene un mejor rendimiento en unas materias específicas en relación a otras, así que identifique sus fortalezas para no descuidarlas, y trabaje por mejorar las debilidades que se le puedan presentar.

3. APRENDA A LEER: Leer no es solamente lo que usted está haciendo en este momento, sino además identificar el sentido global del texto, identificar ideas y priorizarlas, entender la información que le están presentando y a partir de ella proponer y argumentar.

Haga ejercicios de comprensión de lectura, lea lo que a usted le guste y las temáticas que le interesen para ir incorporando el hábito de la lectura en su vida.

4. UNA PREPARACIÓN PREVIA ES MUY VÁLIDA: Su institución educativa programa pruebas simulacro de cara al examen de estado, así como por su interés puede contratar o tener otro apoyo independiente (véase Cursos Pre-Icfes y Cursos Pre-Universitarios) para que lo preparen bien. Todo esto es útil, porque podrá recordar conceptos olvidados, le sugerirán estrategias a la hora de responder una pregunta, le enseñaran a interpretar gráficas, identificará sus fortalezas y debilidades tanto en lo que le evalúan como su comportamiento en la prueba.

5. TODO TIENE SU ESPACIO: Cuando es tiempo de fiesta se disfruta y se goza, cuando hay que competir se compite, cuando esta en un examen de estado, como el Saber 11, o el examen de admisión de la Universidad, tenga muy presente que ese examen es su carta de presentación a universidades e instituciones de educación superior, así que concéntrese en lo que hace, olvide por unas horas todos los asuntos que lo tengan pensando, y si sufre de problemas de atención y memoria, busque orientación para mejorar ese aspecto, que es incluso en ocasiones un problema neurológico.

6. LA SALUD, ALIMENTACIÓN Y EL SUEÑO: En los días previos al examen, recomendamos una semana, preocúpese por dormir por lo menos 7 horas, si puede 8 mucho mejor, y alimentarse bien. Sea precavido en sus actividades y decisiones para que no llegue a su examen con un resfriado o dolor de cabeza que afectan el normal desarrollo de esta. Así mismo, no consuma sustancias alcohólicas o drogas en días anteriores.

Todos los exámenes de estado son en aulas o salones donde usted toma asiento, así que mantenga una buena postura corporal y cuando la pierda incorpórese de nuevo.

Desayune bien y evite comer muchas harinas que producen sueño o comidas pesadas que le puedan ocasionar un malestar en su aparato digestivo.

Lleve una botella de agua a la prueba y bébala en intervalos prudentes, así como algo de chocolate para recuperar carbohidratos y calorías quemadas, como una chocolatina.

Recuerde llevar también ropa cómoda.

7. QUE NO LE GANE LA ANSIEDAD Y LOS NERVIOS: Estas pruebas son muy importantes, pero tampoco lo suficiente como para concentrar toda su atención y salud en ellas. Si siente que una área le esta generando ansiedad o desesperación, lo mas recomendable es seguir con otra materia.

ESTADÍSTICA

      La estadística, que se ocupa de la obtención, organización y análisis de la información numérica, tiene cada vez un papel más importante en el mundo sumamente complejo de nuestros días. Los ciudadanos de a pie sufren tal bombardeo de datos que pueden verse incapaces de tomar decisiones inteligentes.

      La aplicación de los procedimientos estadísticos se remonta hacia el año 3050 a. C., cuando se efectuó en Egipto un registro de la población y la riqueza con el fin de preparar la construcción de las pirámides. 

      Posteriormente, egipcios, griegos y romanos, efectuaron algunos censos con fines tributarios, sociales y militares, y mucho más tarde, en el siglo XVI, se publicaron en Alemania, Italia y Francia inventarios estadísticos. 

      Aunque en un principio la estadística surge a partir de la elaboración de censos, actualmente se extiende su aplicación a numerosos campos, como la agricultura, la biología, la psicología, la enseñanza, etc.

      Daremos algunos ejemplos estrafalarios del uso impropio de datos (el gran arte de "mentir" con estadísticas) que habrán de alertar sobre ciertos errores comunes.

      Hay muchas personas que (por carencia de sentido crítico de carácter estadístico) se impresionan muy fácilmente por coincidencias sorprendentes que a la luz de la teoría de la probabilidad y de la estadística nada tienen de sorprendentes.

1.    SACANDO CONCLUSIONES. Los ejemplos que se muestran a continuación, subrayan la importancia de no lanzarse a sacar implicaciones de tipo causal tan pronto se tiene noticia de una correlación estadística.

• Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de circulación se producen entre vehículos que ruedan a velocidad moderada. Muy pocos ocurren a más de 150 Km. por hora. ¿Significa esto que resulta más seguro conducir a gran velocidad?


No, de ninguna manera. Con frecuencia, las correlaciones estadísticas no reflejan causas y efectos. Casi todo el mundo circula a velocidad moderada, y como es natural, la mayoría de los accidentes se producen a estas velocidades. 
 
• Si las estadísticas mostrasen que la mortalidad por tuberculosis es mayor en Segovia que en las demás provincias, ¿significaría esto que el clima segoviano favorece el contagio tuberculoso?


Todo lo contrario. El clima segoviano es tan beneficioso para los tuberculosos que muchos acuden allí para restablecerse. Naturalmente, ésta es la causa de que aumenten allí los fallecimientos provocados por el mal. 
 
• Un reciente estudio psicopedagógico ha mostrado que los niños de pie grande saben leer mejor que los de pie pequeño. ¿Permitirá el tamaño del pie medir la capacidad de lectura de los niños?


No, desde luego. El estudio se hizo sobre escolares que están en crecimiento. Todo cuanto se demostró en él es que los niños mayorcitos, cuyos pies son más grandes, leen mejor que los pequeñines.

• Suele decirse que casi todos los accidentes de automóvil ocurren cerca de casa. ¿Significa esto que viajar por carretera, a muchos kilómetros de nuestra ciudad, es menos peligroso que callejear por nuestro barrio?


No. Las estadísticas reflejan, sencillamente, que se usa el coche por los alrededores de nuestra residencia que por carreteras alejadas. 
 
• Un estudio demostró que en cierta región las tasas de fallecimiento por cáncer y de consumo de leche eran de las más altas del país. ¿Significa esto que beber leche puede ser causa de cáncer?


No. Resulta que en la zona el clima es benigno y en ella reside gente mayor y acaudalada. Siendo el cáncer aflicción común entre las personas de mayor edad, ésa es la razón del aumento de mortalidad por cáncer. 
 
• Otro estudio mostró que en cierta ciudad se produjo un súbito aumento de mortalidad por fallo cardíaco y un fuerte incremento en el consumo de cerveza. ¿Es posible que beber cerveza sea causa de que aumente la probabilidad de ataque al corazón?


No. En ambos casos el aumento fue debido a un veloz incremento de la población. Por igual causa, los ataques al corazón podrían ser atribuidos a cientos de otras cosas: aumento del consumo de café, de chicle, de partidas de tute, o de ver la televisión. 
 
• Un estudio hizo ver que en cierta población europea se produjo un fuerte crecimiento de la población y un notable incremento del número de nidos de cigüeñas. ¿No es esto demostración de que son las cigüeñas quiénes traen a los niños al mundo?


No. Refleja el hecho de que al aumentar el número de edificios las cigüeñas dispusieron de más sitios donde anidar. Las parejas recién casadas suelen irse a vivir a casas nuevas, donde no hay nidos de cigüeñas. 
 
• Otro trabajo estadístico mostró que casi todos los grandes matemáticos fueron primeros hijos. ¿Significa esto que los niños nacidos los primeros reciben una dote de sensibilidad matemática mayor que sus hermanos posteriores?


No. Lo que refleja es el hecho sorprendente de que la mayoría de los hijos varones son el mayor de los hijos varones del matrimonio. 
 
• Una reciente estadística nacional revela que entre todos los oficios, el de bedel en las escuelas de muchachas es el que permite perder más fácilmente el vicio de fumar. ¿Significa esto que para dejar de fumar se debe buscar trabajo de bedel?


No. Lo que refleja el hecho de que los bedeles de las escuela de muchachas dejen de fumar es porque pueden encontrar con más facilidad otra cosa que hacer. 
 
• En 1984 murieron en España muchas más personas por accidente de tráfico que en 1960. ¿Basta esto para afirmar que era más peligroso viajar en 1984 que en 1960?


No. ... 
 
• Según las estadísticas los diestros viven más que los zurdos. ¿Será eso cierto?


Las estadísticas demuestran que la mayoría de los zurdos son jóvenes. Pero esto no quiere decir que mueran pronto por ser zurdos. Lo que ocurre es que hace años, en las escuelas se insistía en que los zurdos se acostumbrasen a usar su mano derecha. 
 
• Las últimas estadísticas afirman que el numero de matrimonios es el doble que el de divorcios. ¿Será verdad, por tanto, que uno de cada dos matrimonios acaba en divorcio?


No. ... 
 
• Recientes estadísticas muestran que la tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad. ¿Será verdad, por tanto, que una de cada dos personas es inmortal?


No. ... 
 
• La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente. ¿Es cierto?


No. ...


José Antonio González Oreja a lo largo de su tesis doctoral dedica algún tiempo a las relaciones aparentes y correlaciones sin sentido. Así, en la página 192, escribe: "Diversos autores han advertido de las especiales consideraciones que hay que realizar al interpretar el significado de una correlación. La posible mutua dependencia de las dos variables analizadas de una tercera que no se tiene en cuenta invita a prestar una mayor atención a los resultados obtenidos con base en un estudio observacional". Ejemplos: 
 


• Existe una elevada correlación positiva y significativa entre las ventas anuales de chicle y la incidencia del crimen en los Estados Unidos de América.


Obviamente, no es lícito concluir que prohibiendo la venta de chicle podría reducirse el crimen, pues ambas variables dependen de una tercera: el tamaño de la población analizada. 
 
• Se ha documentado una correlación positiva y significativa entre el índice de divorcios de un país y sus importaciones de plátanos.


Las posibles (y fantasiosas) implicaciones que esto pueda tener para con la liberación de la mujer se dejan a la interpretación del lector. 
 
• Existe una elevada correlación positiva y significativa entre los salarios de los profesores y las ventas de licores alcohólicos.

     En realidad, lo que carece de sentido es concluir que, dado que la correlación estadística existe, debe existir también una relación del tipo causa-efecto entre las variables analizadas.

NOVENO -REPASO

SISTEMA DE ECUACIONES

Método de Eliminación o Reducción

1Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución: