ESTADÍSTICA

      La estadística, que se ocupa de la obtención, organización y análisis de la información numérica, tiene cada vez un papel más importante en el mundo sumamente complejo de nuestros días. Los ciudadanos de a pie sufren tal bombardeo de datos que pueden verse incapaces de tomar decisiones inteligentes.

      La aplicación de los procedimientos estadísticos se remonta hacia el año 3050 a. C., cuando se efectuó en Egipto un registro de la población y la riqueza con el fin de preparar la construcción de las pirámides. 

      Posteriormente, egipcios, griegos y romanos, efectuaron algunos censos con fines tributarios, sociales y militares, y mucho más tarde, en el siglo XVI, se publicaron en Alemania, Italia y Francia inventarios estadísticos. 

      Aunque en un principio la estadística surge a partir de la elaboración de censos, actualmente se extiende su aplicación a numerosos campos, como la agricultura, la biología, la psicología, la enseñanza, etc.

      Daremos algunos ejemplos estrafalarios del uso impropio de datos (el gran arte de "mentir" con estadísticas) que habrán de alertar sobre ciertos errores comunes.

      Hay muchas personas que (por carencia de sentido crítico de carácter estadístico) se impresionan muy fácilmente por coincidencias sorprendentes que a la luz de la teoría de la probabilidad y de la estadística nada tienen de sorprendentes.

1.    SACANDO CONCLUSIONES. Los ejemplos que se muestran a continuación, subrayan la importancia de no lanzarse a sacar implicaciones de tipo causal tan pronto se tiene noticia de una correlación estadística.

• Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de circulación se producen entre vehículos que ruedan a velocidad moderada. Muy pocos ocurren a más de 150 Km. por hora. ¿Significa esto que resulta más seguro conducir a gran velocidad?


No, de ninguna manera. Con frecuencia, las correlaciones estadísticas no reflejan causas y efectos. Casi todo el mundo circula a velocidad moderada, y como es natural, la mayoría de los accidentes se producen a estas velocidades. 
 
• Si las estadísticas mostrasen que la mortalidad por tuberculosis es mayor en Segovia que en las demás provincias, ¿significaría esto que el clima segoviano favorece el contagio tuberculoso?


Todo lo contrario. El clima segoviano es tan beneficioso para los tuberculosos que muchos acuden allí para restablecerse. Naturalmente, ésta es la causa de que aumenten allí los fallecimientos provocados por el mal. 
 
• Un reciente estudio psicopedagógico ha mostrado que los niños de pie grande saben leer mejor que los de pie pequeño. ¿Permitirá el tamaño del pie medir la capacidad de lectura de los niños?


No, desde luego. El estudio se hizo sobre escolares que están en crecimiento. Todo cuanto se demostró en él es que los niños mayorcitos, cuyos pies son más grandes, leen mejor que los pequeñines.

• Suele decirse que casi todos los accidentes de automóvil ocurren cerca de casa. ¿Significa esto que viajar por carretera, a muchos kilómetros de nuestra ciudad, es menos peligroso que callejear por nuestro barrio?


No. Las estadísticas reflejan, sencillamente, que se usa el coche por los alrededores de nuestra residencia que por carreteras alejadas. 
 
• Un estudio demostró que en cierta región las tasas de fallecimiento por cáncer y de consumo de leche eran de las más altas del país. ¿Significa esto que beber leche puede ser causa de cáncer?


No. Resulta que en la zona el clima es benigno y en ella reside gente mayor y acaudalada. Siendo el cáncer aflicción común entre las personas de mayor edad, ésa es la razón del aumento de mortalidad por cáncer. 
 
• Otro estudio mostró que en cierta ciudad se produjo un súbito aumento de mortalidad por fallo cardíaco y un fuerte incremento en el consumo de cerveza. ¿Es posible que beber cerveza sea causa de que aumente la probabilidad de ataque al corazón?


No. En ambos casos el aumento fue debido a un veloz incremento de la población. Por igual causa, los ataques al corazón podrían ser atribuidos a cientos de otras cosas: aumento del consumo de café, de chicle, de partidas de tute, o de ver la televisión. 
 
• Un estudio hizo ver que en cierta población europea se produjo un fuerte crecimiento de la población y un notable incremento del número de nidos de cigüeñas. ¿No es esto demostración de que son las cigüeñas quiénes traen a los niños al mundo?


No. Refleja el hecho de que al aumentar el número de edificios las cigüeñas dispusieron de más sitios donde anidar. Las parejas recién casadas suelen irse a vivir a casas nuevas, donde no hay nidos de cigüeñas. 
 
• Otro trabajo estadístico mostró que casi todos los grandes matemáticos fueron primeros hijos. ¿Significa esto que los niños nacidos los primeros reciben una dote de sensibilidad matemática mayor que sus hermanos posteriores?


No. Lo que refleja es el hecho sorprendente de que la mayoría de los hijos varones son el mayor de los hijos varones del matrimonio. 
 
• Una reciente estadística nacional revela que entre todos los oficios, el de bedel en las escuelas de muchachas es el que permite perder más fácilmente el vicio de fumar. ¿Significa esto que para dejar de fumar se debe buscar trabajo de bedel?


No. Lo que refleja el hecho de que los bedeles de las escuela de muchachas dejen de fumar es porque pueden encontrar con más facilidad otra cosa que hacer. 
 
• En 1984 murieron en España muchas más personas por accidente de tráfico que en 1960. ¿Basta esto para afirmar que era más peligroso viajar en 1984 que en 1960?


No. ... 
 
• Según las estadísticas los diestros viven más que los zurdos. ¿Será eso cierto?


Las estadísticas demuestran que la mayoría de los zurdos son jóvenes. Pero esto no quiere decir que mueran pronto por ser zurdos. Lo que ocurre es que hace años, en las escuelas se insistía en que los zurdos se acostumbrasen a usar su mano derecha. 
 
• Las últimas estadísticas afirman que el numero de matrimonios es el doble que el de divorcios. ¿Será verdad, por tanto, que uno de cada dos matrimonios acaba en divorcio?


No. ... 
 
• Recientes estadísticas muestran que la tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad. ¿Será verdad, por tanto, que una de cada dos personas es inmortal?


No. ... 
 
• La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente. ¿Es cierto?


No. ...


José Antonio González Oreja a lo largo de su tesis doctoral dedica algún tiempo a las relaciones aparentes y correlaciones sin sentido. Así, en la página 192, escribe: "Diversos autores han advertido de las especiales consideraciones que hay que realizar al interpretar el significado de una correlación. La posible mutua dependencia de las dos variables analizadas de una tercera que no se tiene en cuenta invita a prestar una mayor atención a los resultados obtenidos con base en un estudio observacional". Ejemplos: 
 


• Existe una elevada correlación positiva y significativa entre las ventas anuales de chicle y la incidencia del crimen en los Estados Unidos de América.


Obviamente, no es lícito concluir que prohibiendo la venta de chicle podría reducirse el crimen, pues ambas variables dependen de una tercera: el tamaño de la población analizada. 
 
• Se ha documentado una correlación positiva y significativa entre el índice de divorcios de un país y sus importaciones de plátanos.


Las posibles (y fantasiosas) implicaciones que esto pueda tener para con la liberación de la mujer se dejan a la interpretación del lector. 
 
• Existe una elevada correlación positiva y significativa entre los salarios de los profesores y las ventas de licores alcohólicos.

     En realidad, lo que carece de sentido es concluir que, dado que la correlación estadística existe, debe existir también una relación del tipo causa-efecto entre las variables analizadas.

NOVENO -REPASO

SISTEMA DE ECUACIONES

Método de Eliminación o Reducción

1Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

ALGUNOS PROBLEMAS

PODEMOS USAR LA BALANZA UNA SOLA  VEZ

Tenemos 10 cestas de bombones y cada bombón ha de pesar 10 gramos. Al disponernos a venderlos hay una cesta en la que los bombones sólo pesan 9 gramos, pero el inconveniente es que no sabemos de qué cesta se trata. El reto consiste en descubrir la cesta que tiene los bombones de 9 gramos con una sola pesada (podemos usar la balanza una sola vez).

Solución:

Ordenamos las cestas en un orden cualquiera.

Cogemos un bombón de la primera cesta, dos de la segunda, tres de la tercera, etc., y nueve de la novena.

Si la pesada de los bombones da 10 + 20 + 30 + ..... + 90 = 450 gramos, las cestas serán correctas y la defectuosa será la décima. Pero si la pesada es de 450 -1 = 449 g. la cesta defectuosa será la primera; si da 450 - 2 = 448 g. será la segunda. Si obtenemos 450 - 3 = 447 g. será la tercera cesta la defectuosa y así si da 450 - 9 = 441 g., será la novena.

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                                                      EL PROBLEMA DEL ANDARÍN

Se trata de un hombre de 1,80 m. de estatura que camina sobre el Ecuador y da así toda la vuelta a la Tierra, ¿qué longitud habrá recorrido más su cabeza que sus pies?. ¿Y si lo hace sobre el ecuador de la Luna?.

Solución:

L. cabeza =

L. pies =

Diferencia de longitudes =

11,31 metros

Dando la vuelta a cualquier esfera, la respuesta es la misma.

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TRES AMIGOS EN EL BAR

Os voy a contar una vieja historia que muy bien pudiera ser real:

Van tres amigos a tomarse un refresco. Después de tomarlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lío:

- Amigos : Camarero, nos trae la cuenta, por favor.

- Camarero: Son 300 pesetas, caballeros.

Y cada uno de ellos pone 100 pesetas.

Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo ve el jefe y le dice:

- Jefe : No, esos son amigos míos. Cóbrales solo 250 ptas.

El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas. puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente:

- Camarero: Ya está. Me quedaré 20 ptas. y les devuelvo 30, diez para cada uno.

Les devuelve a cada uno 10 ptas.

Ahora es cuando viene el follón. Si cada uno puso 100 ptas. y le devuelven 10 ptas, realmente puso cada uno de ellos 90 ptas.

90 x 3 = 270 ptas. Si añadimos las 20 que se queda el camarero, 290 ptas.......

¿ DÓNDE ESTÁN LAS OTRAS 10 PESETAS ?

Solución:

Este es un caso típico de cómo se pueden enredar las cosas.

Lo correcto es decir que 250 ptas. fueron a caja y 20 ptas. es la propina del camarero.

                                                                                                                                               

LOS TRES HIJOS DE D. ALFONSO

Dos sabios matemáticos, Dª. Eva y D. Alfonso, paseaban por la calle cuando Dª. Eva preguntó a su colega D. Alfonso:

- ¿Tiene Vd. hijos?

- Sí, tengo tres.

- ¿Cuántos años tienen?

- El producto de sus edades es 36 y la suma de sus edades es igual al número de la casa de enfrente.

Dª. Eva se quedó pensando y después de mirar el número de la casa de enfrente dijo a D. Alfonso:

- Me falta un dato.

- Es cierto, mi hijo mayor se llama Alfonso como yo.

Con este nuevo dato Dª. Eva ya pudo calcular las edades de los tres hijos de D. Alfonso.

Solución:

Factores del producto 36:-----------------La suma de las edades vale:

1 x 1 x 36 ----------------------------------------- 38

1 x 2 x 18 ----------------------------------------- 21

1 x 3 x 12 ----------------------------------------- 16

1 x 4 x 9 ------------------------------------------- 14

1 x 6 x 6 ------------------------------------------- 13

2 x 2 x 9 ------------------------------------------- 13

2 x 3 x 6 ------------------------------------------- 11

3 x 3 x 4 ------------------------------------------- 10

Al faltar un dato, la suma de las edades debe ser 13 porque es la suma que aparece repetida. O había un hijo de 1 año y dos gemelos de 6 (en este caso hay dos hijos mayores y no uno), o bien, el mayor de 9 años y dos gemelos de 2 años que fue la respuesta de Dª. Eva.

DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA

Dos ciclistas parten de dos ciudades distantes entre sí 50 km. al encuentro el uno del otro a la velocidad de 25 km/h. Una mosca sale desde una de las bicicletas hacia la otra, volando a 42 km/h.

Cuando encuentra a la otra, regresa hacia la primera, siempre a la misma velocidad; así hasta que los dos ciclistas se encuentran. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido la mosca en este vaivén?

Solución

 Está claro que los ciclistas que están a 50 km. el uno del otro, y que circulan a 25 km/h, se encuentran en UNA hora, es el mismo tiempo que está la mosca volando de una bicicleta a otra a la velocidad de 42 km/h, por tanto recorrerá 42 kilómetros.

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CONOCE A  PITÁGORAS

(isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

Pitágoras

Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.

Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.

La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».

También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.

La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.

CUENTO MATEMÁTICO

LOS TRES CERITOS

Érase una vez tres ceritos que vivían en un cuerpo K. Uno era muy listo, otro muy vago, y otro muy confiado.

Un buen día llegó a visitarles su amigo el uno. En muchos cuerpos como éste, era costumbre que el uno hiciera estas visitas cada cierto tiempo característico. Sin embargo, ese día, su amigo les trajo malas noticias.

— Lo siento amigos míos, pero tendréis que marcharos. El congreso acaba de aprobar una ley conocida como "Teorema de unicidad de elementos neutros para la suma" que prohíbe la estancia en el cuerpo de más de un cero.

— ¡Oh, vaya!, dos de nosotros tendrán que irse—, dijo uno de los ceritos.

— Lo siento, pero el puesto ya está cogido por un cero con enchufe. Dicen que es primo del famoso Cero de Hilbert. Temo que tendréis que iros los tres.

Apenados, los ceritos cogieron sus pertenencias, y se fueron mucho más allá de las extensiones finitas, a un espacio normado propiedad de un multimillonario llamado Hausdorff, amigo de los ceritos, el cual les dejó vivir allí.

Como había mucho terreno libre por habitante, debido a que la topología empleada en la construcción del espacio era muy fina, decidieron construirse una casita para cada uno.

— Yo me haré una casita con hiperplanos— dijo el cerito más confiado. Dicen que este cerito era tan confiado, que cuando iba al médico a hacerse un análisis matemático, siempre se los hacía sin ningún tipo de rigor.

— Yo me construiré una casa con matrices— dijo el cerito más vago. Malas lenguas contaban que era tan vago, que en la fábrica de ecuaciones donde trabajaba, sólo producía ecuaciones con solución trivial.

— Pero deberíais haceros casas más fuertes, pues sé que por aquí ronda una esfera descentrada muy feroz, que os comerá cuando tenga la oportunidad—  dijo el cerito sabio. Cuentan que este cerito era tan sabio que incluso ¡aprendió a dividir números! (recuerda que quién por cero divide, que del aprobado se olvide).

— ¡Bah, no tenemos miedo de esa esfera, nuestras casitas nos protegerán!.

— Haced lo que queráis, pero yo me haré una casa fuerte, compacta, y por lo tanto cerrada y acotada—. Y dicho esto, se marchó.

Al cabo de un tiempo, cada cerito había terminado su casita. El cerito confiado tenía su casita hecha de hiperplanos y el cerito vago su casita compuesta enteramente de matrices. Al cerito sabio le costó mucho trabajo hacer su casa, pues primero tuvo que comprar un 3-cubo compacto y empezar a parametrizar la casa. Cuando acabó, se dio cuenta de que el tejado tenía algunas discontinuidades evitables que producirían goteras cuando lloviera, así que tuvo que comprar unos cuantos abiertos para recubrir los agujeros por continuidad.

Una vez terminada la casa, comenzó a construirle una cota alrededor (como su casa era compacta, sabía que podría construir una), pero como había tenido la precaución de hacer su casa diferenciable pudo localizar fácilmente los puntos más alejados y a partir de ahí construir la cota. Como veis al cerito sabio le fueron muy útiles sus conocimientos sobre derivadas, que aprendió de sus múltiples peregrinaciones por la Ruta Jacobiana.

Pasó el tiempo, y la esfera se percató de ellos.

— Parece que tenemos aquí comida deliciosa. Me alegro, empezaba a estar harto de alimentarme de restos de divisiones euclídeas.

Y dicho esto, la malvada esfera fue directa a casa del cerito confiado (como estaba descentrada, la malvada esfera podía moverse por donde quisiera). (Dado que todos los puntos deben distar siempre lo mismo del centro).

No tardó mucho en encontrar al cerito confiado, pues mirara por donde mirara, siempre veía parte de su casa, (una recta y un hiperplano proyectivos siempre se cortan, en este caso, la recta es la mirada de la esfera y el hiperplano el material de que está hecha la casa del cerito confiado) así que fue hacia allí.

— ¡Cerito, si no abres la puerta soplaré, soplaré y la casa proyectaré!.—  amenazó la esfera.

— No te tengo miedo, esfera cruel, mi casa es toda de hiperplanos dobles y aguantará— respondió el cerito.

Pero lo que no sabía el cerito era que la esfera había perdido un punto en un accidente con un equipo estereográfico (la proyección estereográfica parametriza toda la esfera menos un punto). Se hinchó por el punto que le faltaba, y sopló tan fuerte, que dualizó la casa del cerito convirtiendo los hiperplanos de ésta en un montoncito de puntos insignificantes.

El cerito, asustado, salió corriendo por una sucesión que convergía directamente a casa del cerito vago.

La malvada esfera salió corriendo detrás del cerito, pero nuestro amigo atajó por una subsucesión que le llevó a su destino más rápidamente. Por suerte, la esfera prefirió no adentrarse en la subsucesión por miedo a perderse (aquí se hace patente la ignorancia de la esfera de no conocer el Teorema Fundamental del Límite: en una sucesión que converge, cualquier subsucesión converge al mismo sitio), con lo que el cerito llegó con tiempo de avisar al cerito vago y de resguardarse en la casita hecha de matrices.

Al cabo de un rato llegó la esfera y gritó:

— ¡Jo, jo, da igual dos ceros que n ceros o uno solo, no podéis nada contra mí, salid inmediatamente o soplaré, soplaré y la casa reduciré!.

— No quiero salir, esfera, mi casa es totalmente hermítica y aguantará!—  respondió el cerito.

Entonces la esfera sopló y sopló tan fuerte que redujo todas las matrices de la casa por columnas (si la esfera hubiera soplado hacia arriba o abajo, hubiera reducido las matrices por filas), convirtiendo la casa en un esqueleto compuesto de incógnitas (el cerito vago había usado matrices de ecuaciones sin molestarse siquiera en resolverlas). Por si fuera poco los dos ceritos hubieran salido volando de no ser porque se agarraron a un pivote de una matriz que todavía quedaba en pie.

Pero ¿por qué era tan mala la esfera?. Según se cuenta, la esfera estuvo trabajando en una banda criminal llamada La Banda de Moebius, de ahí su carácter retorcido. Pero volvamos a nuestro cuento.

Despavoridos, los ceritos salieron corriendo a casa del cerito sabio. Lo encontraron montado en una tractriz, plantando grafos en su huerto. Corrían tanto que saltaron la cota de la casa de un salto.

— ¡Socorro, socorro, ayúdanos cerito sabio, la esfera quiere devorarnos!.

— No os preocupéis, entrad en mi casa, veréis cómo la esfera no puede hacernos daño— dijo el cerito sabio. Y dicho esto, se metieron en la casa.

Al cabo de un rato llegó la esfera malvada. No le costó trabajo encontrar el camino porque uno de los ceritos pisó un punto de tinta de modo que sólo tuvo que seguir la cicloide (si una circunferencia rueda sobre una recta, la curva que describe cualquiera de sus puntos se llama cicloide; no olvidemos que los ceritos son redondos) que iban dejando tras ellos.

Una vez que llegó, gritó con todas sus fuerzas:

— ¡Por fin os tengo a los tres juntos, salid o soplaré, soplaré y la casa despejaré!.

— ¡Nunca!—  dijo el cerito sabio —mi casa es fuerte y aguantará.

Entonces la malvada esfera sopló y sopló, pero como la casa era compacta, sólo llegaron a ella un número finito de soplidos, lo cual no llegó a afectarle mucho. La esfera, obstinada, sopló y sopló con todas sus fuerzas, pero el cerito sabio había tenido la precaución de hacerse una casa con superficie Gaussiana, con lo cual todos los soplidos de la esfera se repelieron mutuamente.

La esfera quedó exhausta, y el cerito sabio aprovechó ese momento para dejar caer sobre ella un pesado atlas de 6 tomos que la recubrieron totalmente Entonces los ceritos agarraron a la esfera por una de sus geodésicas y tirando, tirando, consiguieron deshilacharla y convertirla en una curva, y hecho esto la llevaron a R^2 donde ahora podría llevar una vida con parámetro natural.

Hecho esto, los ceritos agradecieron al cerito sabio su ayuda y prometieron ser más trabajadores y menos confiados.

Y colorín, corolario colorado, este cuento se ha terminado.

David Gutiérrez Rubio

JUEGOS CON LA 
CALCULADORA

UNOS Y CEROS
Nº de Jugadores	Todos los que se quiera
Reglas del juego	Imagina que las únicas teclas numéricas que funcionan en tu calculadora son las del 0 y el 1. En este juego se trata de conseguir en la pantalla los números que va dictando el profesor, sin poder pulsar otras teclas numéricas.
Ganador	Gana quién consigue visualizar el número propuesto o, en otra versión, quien lo consigue en el menor número de teclas.
Ejemplo	Ejemplo: Si se propone 120, son soluciones:  11x10+10=  110+10= En el primer caso, necesitamos pulsar 9 teclas, mientras que en el segundo solo pulsamos 7. Es el mejor el segundo.

4 OCHOS
Nº de Jugadores	Todos los que se quiera
Reglas del juego	Imagina que dispones de 4 ochos y el profesor dice que con ellos, sometidos a las operaciones que quieras, se puede obtener el número 120.  ¿Podrás conseguirlo?
Ganador	Gana quién consigue visualizar el número 120, o, en otra versión, quien lo consigue  antes.
Ejemplo	8 x (8 + 8) - 8 = 120
Objetivos	Con este juego se consigue que los alumnos dominen la utilización de su calculadora: familiarización con la calculadora, prioridad de operaciones, técnica de ensayo y error, etc.

7 SEIS DEL 111
Nº de Jugadores	Todos los que se quiera
Reglas del juego	Imagina que dispones de 7 seis y el profesor dice que con ellos, sometidos a las operaciones que quieras (cuántas menos mejor), se puede obtener el número 111.  ¿Podrás conseguirlo?. Ten en cuenta que si entre dos o mas 6 no pones nada se entiende que tienes los números 66, 666, etc
Ganador	Gana quién consigue visualizar en la pantalla de su calculadora el número 111, o, en otra versión, quien lo consigue  antes.
Ejemplos	(6 / (6 + 6) + 6 + 6 + 6) * 6 = 111  (6*6*6+6)/(6+6)/6 (666/6)+6-6=111 6-6+666/6 = 111
Objetivos	Con este juego se consigue que los alumnos dominen la utilización de su calculadora: familiarización con la calculadora, prioridad de operaciones, técnica de ensayo y error, etc.

7 SEIS DEL 123
Nº de Jugadores	Todos los que se quiera
Reglas del juego	Imagina que dispones de 7 seis y el profesor dice que con ellos, sometidos a las operaciones que quieras (cuántas menos mejor), se puede obtener el número 123.  ¿Podrás conseguirlo?. Ten en cuenta que si entre dos o mas 6 no pones nada se entiende que tienes los números 66, 666, etc
Ganador	Gana quién consigue visualizar en la pantalla de su calculadora el número 123, o, en otra versión, quien lo consigue  antes.
Ejemplos	((6/6) * 6! + 6 + 6 + 6) / 6 = 123  (666 + 66 + 6) / 6 = 123  (666/6) + √(6*6) + 6     (6 - (6 / 6))! + 6 * 6 / (6 + 6) = 123   (666 + 66 + 6) / 6 = 123  666 : 6 +6+6= 123
Objetivos	Con este juego se consigue que los alumnos dominen la utilización de su calculadora: familiarización con la calculadora, prioridad de operaciones, técnica de ensayo y error, etc.

EL DETECTIVE
Nº de Jugadores	2 jugadores
Reglas del juego	Con una calculadora dile a tu amigo que anote, sin mostrarla, su edad. A continuación que: la multiplique por 2 le sume 5 el resultado lo multiplique por 500 le sume la cantidad de dinero que tiene en el bolsillo (<1000) que al resultado le reste 3758 Y le pides que te enseñe la calculadora.  Tu averiguarás su edad y el dinero que tiene en el bolsillo.
Número Clave	Para averiguar la edad y el dinero que tiene basta sumar al resultado 1258. Las dos primeras cifras es la edad y el resto las pesetas que tiene.
Objetivos	Pasar un rato divertido entre dos amigos y analizar detenidamente los fundamentos del  juego.

CURIOSIDADES NUMÉRICAS
Reglas del juego	Se pretende que los alumnos saquen conclusiones sobre los resultados de las siguientes operaciones. Las primeras las hacen con la calculadora pero las últimas deben de saber cuál es el resultado analizando los resultados de las operaciones hechas anteriormente. 9-1= 98-21= 987-321= 9876-4321= 98765-54321= 987654-654321= 9876543-7654321= 98765432-87654321= 987654321-987654321=

CÁLCULOS SIN TECLAS
Nº de Jugadores	Todos los que se quiera
Reglas del juego	El profesor escribe una operación en la pizarra, y les dice a los alumnos que obtengan el resultado con la calculadora pero con restricciones sobre las teclas que deben utilizar.
Ganador	Gana quién consiga visualizar el resultado de la operación, en otra versión, quien lo consigue  antes.
Ejemplo	200:27 utilizando sólo la tecla x 350/56 utilizando sólo la tecla + 165/35 utilizando sólo la tecla - 2453-121 sin utilizar la tecla - 274+142 sin utilizar la tecla +
Objetivos	Se pretende ver la "madurez numérica" de nuestros alumnos. Es un juego muy divertido.

ADIVINAR NÚMEROS
Nº de Jugadores	2 jugadores
Reglas del juego	Propón al compañero que escriba un número en la calculadora y que lo anote sin decirte cual es. Pídele que le reste 1 y el resultado lo multiplique por 2, que le sume el número que eligió. Le pedimos la calculadora e intentamos adivinar el número.
Ganador	Si tu compañero  consigue averiguar el número habrá ganado él, si no habrás ganado tú.
Objetivos	Se pretende que los alumnos razonen los pasos que tienen que dar para averiguar el número inicial, dándose cuenta de la secuencia de operaciones que deben realizar.

9 CIFRAS HACEN 100
Nº de Jugadores	Todos los que se quiera
Reglas del juego	Con las operaciones que tu mismo elijas, has de llegar al número 100 empleando las nueve cifras sin omitir ni repetir ninguna:                    1   2   3   4   5   6   7   8   9
Ganador	Gana quién consigue visualizar el número 100, o en otra versión, quien lo consigue  antes.
Ejemplo	Esta te la dejo a ti, amigo
Objetivos	Con este juego se consigue que los alumnos dominen la utilización de su calculadora: familiarización con la calculadora, prioridad de operaciones, técnica de ensayo y error, etc.

OPERACIONES
Nº de Jugadores	1 jugador
Reglas del juego	Con la ayuda de la calculadora busca el dígito que hay que poner en cada cuadrado para que se verifique la igualdad:  4_5 + 85_ = 1_13  34_ · _6 = 8970 425 + 23 · _ = 5_6          Con la ayuda de la calculadora  sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estas igualdades sean verdaderas:  12 _ 34 _ 9 = 318 ( 25 _ 16 ) _ 45 _ 5 = 400
Variantes.	Calcula el valor de las siguientes expresiones empleando la calculadora:  -4 · 2 – 5 · 6 + 8 · 5 = 3 · 5 – 27 : 3 + 8 · 4 = 2 + ( - 8 ) + 10 : ( -2 ) = 5 2 – 3 3 + ( -6 ) : 3 = (-2) 2 · 2 (-2) · 2 2 · (-2 ) (-2) =

NÚMEROS MÁXIMO Y MÍNIMO
Nº de Jugadores	Toda la clase
Reglas del juego	Supongamos que tenemos una calculadora y que podemos sustituir cada signo de interrogación por un signo de operación matemática. Empleando +, -, x y /(una sóla vez cada uno de ellos) obtener los valores máximo y mínimo posibles.                                    3 ? 7 ? 5 ? 4 ? 3 = ?
Variante	Podemos cambiar el número de operaciones, o quitar alguna de ellas, o poner más cifras, etc
Objetivos	Realizar operaciones básicas con calculadora y trabajar con la prioridad de operaciones.

MULTIPLICACIONES
Nº de Jugadores	2 jugadores
Objetivo del juego	Consiste en encontrar una multiplicación (de dos factores) cuyo resultado se encuentre entre ciertos rangos establecidos.
Reglas del juego	Se desafían en parejas a encontrar un número "entre 100 y 105", siguiendo las siguientes instrucciones: Escogen un número de inicio menor a 100 y lo escriben en la pantalla de la calculadora. Por turno van multiplicando el número que aparece en la pantalla por otro número a elección del jugador o jugadora. El primero que logre mostrar en la pantalla de la calculadora un resultado que se encuentre entre 100 y 105 gana el juego. Juegan nuevamente variando el número de inicio, incluso a números mayores a 100.
Variantes	Se desafían en parejas a encontrar un número "entre 100 y 101", siguiendo las instrucciones del juego. Toman como referencia las estrategias ganadoras utilizadas en el juego anterior.
Objetivos	Antes de comenzar a jugar, cada grupo discute las estrategias que se pueden utilizar para ganar el juego, comentan situaciones concretas y cuáles son los números por los que conviene multiplicar en esos casos. Desarrollan la competencia.

LLEGAR AL 1
Nº de Jugadores	2 jugadores
Reglas del juego	El primer jugador pone un nº  y el jugador contrario resta otro número así sucesivamente. Pierde el que antes obtenga en pantalla un número menor o igual que uno.
Variante	Variante: Igual pero sumando y pierde quien llegue a un número determinado.
Objetivos	Consolidar las operaciones con números decimales

LA CIFRA DESEADA
Nº de Jugadores	2 jugadores (Profesor y otro)
Reglas del juego	El profesor (que sabe el truco) introduce en la calculadora el número 12345679 (sin el 8) y le dice al otro que elija una cifra, entre 1 y 9. El profesor multiplica el número de la pantalla por otro (que ahora vemos como se elige) y  en pantalla sale un número compuesto exclusivamente por la cifra elegida por el alumno.
Truco	Truco (el profesor multiplica por 9 y por la cifra elegida por el alumno)